Fonction de Transfert et Analyse

Transformée de Laplace

Pour analyser les systèmes SLIT, la transformée de Laplace offre plusieurs avantages par rapport à l'utilisation directe d'équations différentielles. En effet, cette transformée permet de transformer des équations différentielles en équations algébriques, plus simples à manipuler.

Définition

Transformée de Laplace

La transformée de Laplace est définie comme une transformation intégrale qui convertit une fonction temporelle $f(t)$ en une fonction de la variable complexe $s$. Mathématiquement, la transformée de Laplace monolatérale s'exprime sous la forme:

$$F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}={\int }_0^{\mathrm{\infty }}f(t)e^{-st}dt$$

où $s$ est une variable complexe $s=\sigma +j\omega$, avec $\sigma$ représentant la partie réelle et $\omega$ la partie imaginaire.

Transformée de Laplace Inverse

La transformée de Laplace inverse est une transformation qui permet de revenir du domaine de Laplace au domaine temporel.

$$f(t)={\mathcal{L}}^{-1}\{F(s)\}=\frac{1}{2\pi j}{\int }_{\sigma -j\mathrm{\infty }}^{\sigma +j\mathrm{\infty }}F(s)e^{st}ds$$

En pratique, la transformée de Laplace inverse sera le plus souvent obtenue en utilisant des tables.

Exemples

Exemple 1: Signal échelon

Considérons la fonction échelon unitaire $x(t)=u(t)$. Pour $t\ge 0$, $x(t)=1$, la transformée de Laplace est donc égale à :

$$X(s)=\mathcal{L}\{u(t)\}={\int }_0^{\mathrm{\infty }}1\cdot e^{-st}dt={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-st}dt$$

Rappelons que l'intégrale de $e^{-st}$ est :

$$\int e^{-st}dt=-\frac{1}{s}{e}^{-st}$$

En évaluant cette expression entre les bornes $0$ et $\mathrm{\infty }$, nous obtenons

$${[-\frac{1}{s}{e}^{-st}]}_0^{\mathrm{\infty }}=(-\frac{1}{s}{e}^{-s\cdot \mathrm{\infty }})-(-\frac{1}{s}{e}^{-s\cdot 0})$$

• Lorsque $t\to \mathrm{\infty }$, $e^{-st}\to 0$ si $\text{Re}(s)>0$.
• Lorsque $t=0$, $e^{-st}=e^0=1$.

Pour $\text{Re}(s)>0$, l'intégrale converge et est égale à :

$$X(s)={\int }_0^{\mathrm{\infty }}1\cdot e^{-st}dt={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-st}dt=\frac{1}{s}$$

Exemple 2: Signal Exponentiel

Considérons le signal exponentiel $x(t)=e^{-at}u(t)$. En utilisant la définition de la transformée de Laplace, nous obtenons :

$$X(s)=\mathcal{L}\{x(t)\}={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-at}{e}^{-st}dt={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-(s+a)t}dt$$

Nous obtenons alors

$$X(s)={\left[\frac{1}{s+a}{e}^{-(s+a)t}\right]}_0^{\mathrm{\infty }}=\frac{1}{s+a}$$

Les transformées de Laplace des signaux usuels sont souvent présentées dans une table.

Propriétés

La transformée de Laplace possède plusieurs propriétés qui permettent de simplifier significativement l'analyse des systèmes SLIT.

1. Linéarité

La transformée de Laplace est une opération linéaire :

$$\mathcal{L}\{af(t)+bg(t)\}=a\mathcal{L}\{f(t)\}+b\mathcal{L}\{g(t)\}$$

où $a$ et $b$ sont des constantes, et $f(t)$ et $g(t)$ sont des fonctions de $t$.

Démonstration

Pour démontrer cette propriété, nous devons appliquer la définition de la transformée de Laplace à la fonction $af(t)+bg(t)$.

$$\begin{array}{rl}\mathcal{L}\{af(t)+bg(t)\}& ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}(af(t)+bg(t))e^{-st}dt\\ & ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}af(t)e^{-st}dt+{\int }_0^{\mathrm{\infty }}bg(t)e^{-st}dt\\ & =a{\int }_0^{\mathrm{\infty }}f(t)e^{-st}dt+b{\int }_0^{\mathrm{\infty }}g(t)e^{-st}dt\\ & =a\mathcal{L}\{f(t)\}+b\mathcal{L}\{g(t)\}\end{array}$$

2. Dérivation

La transformée de Laplace de la dérivée d'une fonction est donnée par :

$$\mathcal{L}\left\{\frac{d^{n}f(t)}{d{t}^n}\right\}=s^{n}F(s)-s^{n-1}f(0^{-})-s^{n-2}{f}^{\prime }(0^{-})-\cdots -f^{(n-1)}(0^{-})$$

où $F(s)$ est la transformée de Laplace de $f(t)$ et $f^{(n)}(0^{-})$ représente la $n$-ième dérivée de $f(t)$ évaluée à $t=0^{-}$ (pré-condition initiale).

TIP

Lorsque toutes les pré-conditions initiales sont nulles, $f^{(n)}(0^{-})=0$ et donc

$$\mathcal{L}\left\{\frac{d^{n}f(t)}{d{t}^n}\right\}=s^{n}F(s)$$

Démonstration

Nous allons démontrer ici la propriété pour $n=1$. La démonstration pour les autres valeurs de $n$ s'obtient par induction.

La transformée de Laplace de $f^{\prime }(t)$ est définie par :

$$\mathcal{L}\{f^{\prime }(t)\}={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{f}^{\prime }(t)e^{-st}dt$$

En utilisant l'intégration par parties, avec $u=e^{-st}$ et $dv=f^{\prime }(t)dt$, nous avons :

$$du=-s{e}^{-st}dt\text{et}v=f(t)$$

Ainsi, l'intégration par parties donne :

$${\int }_0^{\mathrm{\infty }}{f}^{\prime }(t)e^{-st}dt={[f(t)e^{-st}]}_0^{\mathrm{\infty }}+s{\int }_0^{\mathrm{\infty }}f(t)e^{-st}dt$$

Évaluons le premier terme ${[f(t)e^{-st}]}_0^{\mathrm{\infty }}$:

• À $t\to \mathrm{\infty }$, si $f(t)$ ne croît pas plus vite qu'une exponentielle, $f(t)e^{-st}\to 0$.
• À $t=0$, $f(0)e^{-s\cdot 0}=f(0)$.

Donc :

$${[f(t)e^{-st}]}_0^{\mathrm{\infty }}=0-f(0)=-f(0)$$

Ainsi, nous avons :

$$\mathcal{L}\{f^{\prime }(t)\}=-f(0)+s{\int }_0^{\mathrm{\infty }}f(t)e^{-st}dt=-f(0)+s\mathcal{L}\{f(t)\}$$

Donc :

$$\mathcal{L}\{f^{\prime }(t)\}=sF(s)-f(0)$$

3. Valeur initiale et valeur finale

• Théorème de la valeur initiale :

$$f(0^{+})=\underset{t\to 0^{+}}{lim}f(t)=\underset{s\to \mathrm{\infty }}{lim}sF(s)$$

• Théorème de la valeur finale :

$$f(\mathrm{\infty })=\underset{t\to \mathrm{\infty }}{lim}f(t)=\underset{s\to 0}{lim}sF(s)$$

Démonstration

Les deux démonstrations reposent sur la propriété de dérivation. Soit $g(t)=\frac{df(t)}{dt}$. En utilisant la définition de la transformée de Laplace, nous obtenons :

$$G(s)={\int }_0^{\mathrm{\infty }}g(t)e^{-st}dt$$

Par ailleurs, la propriété de dérivation en transformée de Laplace s'écrit :

$$G(s)=\mathcal{L}(g(t))=sF(s)-f(0^{-})$$

• Valeur finale. Lorsque $s\to 0$, nous obtenons dans la première égalité :

$$\underset{s\to 0}{lim}G(s)=\underset{s\to 0}{lim}{\int }_{0^{-}}^{\mathrm{\infty }}g(t)e^{-st}dt={[f(t)]}_{0^{-}}^{\mathrm{\infty }}=f(\mathrm{\infty })-f(0^{-})$$

De plus, en utilisant la seconde égalité, nous obtenons :

$$\underset{s\to 0}{lim}G(s)=\underset{s\to 0}{lim}sF(s)-f(0^{-})$$

En regroupant les deux égalités, il en vient que $f(\mathrm{\infty })=\underset{s\to 0}{lim}sF(s)$.

• Valeur initiale. Lorsque $s\to \mathrm{\infty }$, nous obtenons dans la première égalité :

$$\underset{s\to \mathrm{\infty }}{lim}G(s)=\underset{s\to \mathrm{\infty }}{lim}{\int }_{0^{-}}^{\mathrm{\infty }}\frac{df(t)}{dt}{e}^{-st}dt$$

En utilisant une intégration par partie, il est possible d'établir que :

$$\underset{s\to \mathrm{\infty }}{lim}G(s)=f(0^{+})-f(0^{-})$$

De plus, en utilisant la seconde égalité, nous obtenons :

$$\underset{s\to \mathrm{\infty }}{lim}G(s)=\underset{s\to \mathrm{\infty }}{lim}sF(s)-f(0^{-})$$

En regroupant les deux égalités, il en vient que $f(0^{+})=\underset{s\to \mathrm{\infty }}{lim}sF(s)$.

4. Intégration

La transformée de Laplace de l'intégrale d'une fonction est donnée par :

$$\mathcal{L}\{{\int }_0^{t}f(\tau )d\tau \}=\frac{F(s)}{s}$$

5. Théorème du décalage dans le temps

Si une fonction $f(t)$ est décalée dans le temps de $t_0$ unités, la transformée de Laplace est modifiée comme suit :

$$\mathcal{L}\{f(t-t_0)u(t-t_0)\}=e^{-s{t}_0}F(s)$$

où $u(t)$ est la fonction échelon.

Démonstration

Nous voulons trouver la transformée de Laplace de $f(t-t_0)u(t-t_0)$ où $u(t)$ est la fonction échelon unitaire. La fonction $f(t-t_0)u(t-t_0)$ est donc nulle pour $t<t_0$ et égale à $f(t-t_0)$ pour $t\ge t_0$. Nous calculons la transformée de Laplace de $f(t-t_0)u(t-t_0)$ en utilisant la définition :

$$\mathcal{L}\{f(t-t_0)u(t-t_0)\}={\int }_0^{\mathrm{\infty }}f(t-t_0)u(t-t_0)e^{-st}dt$$

Comme $f(t-t_0)u(t-t_0)$ est nul pour $t<t_0$, nous pouvons changer les bornes d'intégration de $0$ à $t_0$ en $t_0$ à $\mathrm{\infty }$:

$$\mathcal{L}\{f(t-t_0)u(t-t_0)\}={\int }_{t_0}^{\mathrm{\infty }}f(t-t_0)e^{-st}dt$$

Pour simplifier cette intégrale, nous faisons un changement de variable. Posons $\tau =t-t_0$. Alors $dt=d\tau$ et lorsque $t$ varie de $t_0$ à $\mathrm{\infty }$, $\tau$ varie de $0$ à $\mathrm{\infty }$. L'intégrale devient :

$$\mathcal{L}\{f(t-t_0)u(t-t_0)\}={\int }_0^{\mathrm{\infty }}f(\tau )e^{-s(\tau +t_0)}d\tau$$

Nous pouvons séparer le facteur exponentiel en deux termes :

$$\mathcal{L}\{f(t-t_0)u(t-t_0)\}={\int }_0^{\mathrm{\infty }}f(\tau )e^{-s\tau }{e}^{-s{t}_0}d\tau$$

Comme $e^{-s{t}_0}$ est indépendant de $\tau$, nous pouvons le sortir de l'intégrale :

$$\mathcal{L}\{f(t-t_0)u(t-t_0)\}=e^{-s{t}_0}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}f(\tau )e^{-s\tau }d\tau$$

L'intégrale ${\int }_0^{\mathrm{\infty }}f(\tau )e^{-s\tau }d\tau$ est la définition de la transformée de Laplace de $f(t)$, que nous avons notée $F(s)$. Donc :

$$\mathcal{L}\{f(t-t_0)u(t-t_0)\}=e^{-s{t}_0}F(s)$$

6. Multiplication par une exponentielle

La multiplication d'une fonction par une exponentielle se traduit par un décalage dans le domaine de la transformée de Laplace :

$$\mathcal{L}\{e^{at}f(t)\}=F(s-a)$$

7. Théorème de convolution

La transformée de Laplace de la convolution de deux fonctions est le produit des transformées de Laplace de ces fonctions :

$$\mathcal{L}\{(f\ast g)(t)\}=F(s)G(s)$$

où

$$(f\ast g)(t)={\int }_0^{t}f(\tau )g(t-\tau )d\tau$$

Analyse de circuits dans le domaine de Laplace

Un avantage majeur de la transformée de Laplace est qu'elle permet d'introduire la notion d'impédance généralisée pour les composants électroniques. Cette notion simplifie considérablement l'analyse des circuits électroniques.

Pour un composant passif, la relation entre la tension $v(t)$ à ses bornes et le courant $i(t)$ qui le traverse peut s'exprimer dans le domaine de Laplace par :

$$V(s)=Z(s)I(s)$$

où $Z(s)$ est l'impédance généralisée du composant.

• Résistance: Pour une résistance $R$, l'impédance généralisée est :

$$v(t)=Ri(t)\Rightarrow Z_R(s)=R$$

• Condensateur: Pour un condensateur $C$ (avec pré-condition initiale nulle), l'impédance généralisée est :

$$i(t)=C\frac{dv(t)}{dt}\Rightarrow Z_C(s)=\frac{1}{Cs}$$

• Bobine: Pour une bobine $L$ (avec pré-condition initiale nulle), l'impédance généralisée est :

$$v(t)=L\frac{di(t)}{dt}\Rightarrow Z_L(s)=Ls$$

Fonction de transfert

Définition

La fonction de transfert du système est définie par :

$$H(s)=\frac{Y(s)}{X(s)}$$

• $s\in \mathbb{C}$ désigne la variable de Laplace,
• $X(s)=\mathcal{L}[x(t)]$ désigne la transformée de Laplace de l'entrée,
• $Y(s)=\mathcal{L}[y(t)]$ désigne la transformée de Laplace de la sortie.

Généralement, l'expression de $H(s)$ peut s'obtenir de deux manières. Soit

• à partir de l'équation différentielle en appliquant la transformée de Laplace sous l'hypothèse où les pré-conditions initiales sont nulles,
• à partir de l'analyse d'un circuit électronique en utilisant directement la notion d'impédance généralisée.

Exemple

Exemple 1 : À partir d'une équation différentielle

Soit l'équation différentielle de second ordre suivante :

$$a_2\frac{d^{2}y(t)}{d{t}^2}+a_1\frac{dy(t)}{dt}+a_{0}y(t)=b_{0}x(t)$$

En supposant les pré-conditions initiales nulles, nous obtenons dans le domaine de Laplace l'équation algébrique suivante :

$$a_2{s}^{2}Y(s)+a_{1}sY(s)+a_{0}Y(s)=b_{0}X(s)$$

En factorisant de deux côtés, il en vient que :

$$(a_2{s}^2+a_{1}s+a_0)Y(s)=b_{0}X(s)\Rightarrow H(s)=\frac{b_0}{a_2{s}^2+a_{1}s+a_0}$$

Exemple 2 : À partir de l'analyse du circuit

Considérons un circuit RC série avec :

• Une résistance $R$
• Un condensateur $C$
• Tension d'entrée $v_e(t)$
• Tension de sortie $v_s(t)$ aux bornes du condensateur

Les impédances généralisées sont :

• $Z_R(s)=R$
• $Z_C(s)=\frac{1}{Cs}$

En appliquant la formule du pont diviseur avec $Z_1=Z_R(s)$ et $Z_2=Z_C(s)$ :

$$H(s)=\frac{V_s(s)}{V_e(s)}=\frac{Z_2}{Z_1+Z_2}=\frac{Z_C(s)}{Z_R(s)+Z_C(s)}=\frac{\frac{1}{Cs}}{R+\frac{1}{Cs}}=\frac{1}{RCs+1}$$

Formes générales

Soit une équation différentielle linéaire à coefficients constants d'ordre $n$. En utilisant les propriétés de linéarité et de dérivation de la transformée de Laplace et en supposant les pré-conditions initiales nulles, nous obtenons la fonction de transfert suivante :

$$H(s)=\frac{Y(s)}{X(s)}=\frac{b_m{s}^m+\cdots +b_{1}s+b_0}{a_n{s}^n+\cdots +a_{1}s+a_0}$$

Cette fonction peut s'exprimer sous plusieurs formes.

Forme Polynomiale [ba]

$$H(s)=\frac{N(s)}{D(s)}=\frac{b_m{s}^m+\cdots +b_{1}s+b_0}{a_n{s}^n+\cdots +a_{1}s+a_0}$$

Lorsque $a_0=1$, la fonction de transfert est dite sous forme normalisée.

En général, pour un système causal, le degré du numérateur $m$ ne peut pas être strictement plus élevé que celui du dénominateur $n$. Nous vérifierons donc systématiquement que $m\le n$.

Forme Factorisée [zpk]

Le passage à la forme factorisée s'obtient en évaluant les racines du polynôme au numérateur et au dénominateur.

$$H(s)=G\frac{(s-z_m)\times \cdots \times (s-z_1)}{(s-p_n)\times \cdots \times (s-p_1)}$$

• le paramètre $G=\frac{b_m}{a_n}$ est un coefficient d'amplification,
• les zéros $z_l$ correspondent aux racines du numérateur c-à-d aux solutions de l'équation

$$b_m{s}^m+\cdots +b_{1}s+b_0=0$$

• les pôles $p_l$ correspondent aux racines du dénominateur c-à-d aux solutions de l'équation

$$a_n{s}^n+\cdots +a_{1}s+a_0=0$$

Forme SOS [sos]

Lorsque les pôles ont un ordre de multiplicité maximum de 2, il est possible de décomposer la fonction de transfert comme une multiplication de fonctions de transfert de 1er et 2nd ordres:

$$H(s)=G\left(\prod _{n=1}^{n_r}\frac{N_n(s)}{s-p_n}\right)\left(\prod _{l=1}^{n_c/2}\frac{N_l(s)}{s^2-2\text{Re}(p_l)s+|p_l{|}^2}\right)$$

• $p_n$ désigne un pôle réel,
• $p_l$ désigne un pôle complexe-conjugué,
• $n=n_r+n_c$ désigne l'ordre du système.

Diagramme des pôles et zéros

Le diagramme des pôles et zéros présente graphiquement la localisation des pôles ($\times$) et des zéros ($\circ$) dans le plan complexe.

Localisation des pôles et des zéros

Exemple : Système d'ordre 2

Déterminons les pôles et zéros de la fonction de transfert de 2ème ordre suivante :

$$H(s)=\frac{K}{\frac{1}{{\omega }_0^2}{s}^2+\frac{2m}{{\omega }_0}s+1}$$

Cette fonction de transfert ne possède pas de zéro. Les pôles $p_1$ et $p_2$ s'obtiennent en cherchant les solutions de l'équation

$$\frac{1}{{\omega }_0^2}{p}^2+\frac{2m}{{\omega }_0}p+1=0$$

Le discriminant est égal à

$$\mathrm{\Delta }=\frac{4m^2}{{\omega }_0^2}-\frac{4}{{\omega }_0^2}=\frac{4}{{\omega }_0^2}(m^2-1)$$

Suivant la valeur de $\mathrm{\Delta }$, nous obtenons 3 cas de figure :

• Cas où $m>1$ :

$$\begin{array}{rl}{p}_1& =-(m-\sqrt{m^2-1}){\omega }_0\\ p_2& =-(m+\sqrt{m^2-1}){\omega }_0\end{array}$$

• Cas où $m=1$ :

$$p_1=p_2=-{\omega }_{0}m$$

• Cas où $m<1$ :

$$\begin{array}{rl}{p}_1& =-(m-j\sqrt{1-m^2}){\omega }_0\\ p_2& =-(m+j\sqrt{1-m^2}){\omega }_0\end{array}$$

La figure suivante présente le diagramme des pôles pour les 3 cas.

Pôles de 3 systèmes de second ordre

Analyse temporelle

Méthodologie

Pour déterminer la sortie du système à une entrée quelconque, il est possible d'utiliser la méthodologie suivante :

1. Détermination de $X(s)=\mathcal{L}[x(t)]$,
2. Détermination de la fonction de transfert $H(s)=\frac{Y(s)}{X(s)}$,
3. Calcul de $Y(s)=H(s)X(s)$,
4. Décomposition en éléments simples de $Y(s)$,
5. Détermination de la sortie $y(t)={\mathcal{L}}^{-1}[Y(s)]$.

Exemple

Déterminons la réponse indicielle ($x(t)=u(t)$) de la fonction de transfert de premier ordre suivante :

$$H(s)=\frac{2}{4s+1}$$

1. La transformée de Laplace de l'entrée est égale à $X(s)=\frac{1}{s}$ (voir table)
2. La fonction de transfert est déjà déterminée,
3. La transformée de Laplace de la sortie est égale à

$$Y(s)=\frac{2}{s(4s+1)}$$

4. En utilisant une décomposition en éléments simples, cette transformée peut se décomposer sous la forme :

$$Y(s)=\frac{c_1}{s}+\frac{c_2}{4s+1}$$

• $c_1={sY(s)|}_{s=0}=2$
• $c_2={(4s+1)Y(s)|}_{s=-\frac{1}{4}}=-2\times 4=-8$

5. La sortie s'exprime alors sous la forme :

$$y(t)={\mathcal{L}}^{-1}[Y(s)]=2{\mathcal{L}}^{-1}\left[\frac{1}{s}\right]-2{\mathcal{L}}^{-1}\left[\frac{1}{s+\frac{1}{4}}\right]$$

En utilisant les tables des transformées, nous obtenons pour $t\ge 0$:

$$y(t)=2(1-e^{-\frac{1}{4}t})$$

Stabilité

Pour qu'un système soit asymptotiquement stable, il faut et il suffit que la réponse libre $y_l(t)$ converge asymptotiquement vers 0. Pour un système d'ordre $n$, le régime libre s'exprime sous la forme $y_l=\sum _{k=1}^n{\lambda }_k{e}^{p_{k}t}$. Ainsi, le système est stable si $\text{Re}(p_k)<0$ pour tout $k=1,\dots ,n$.

TIP

Un système est stable si tous ses pôles sont à partie réelle négative.

Valeur Initiale

Le théorème de la valeur initiale permet d'obtenir rapidement la sortie initiale d'un système. Mathématiquement, la sortie initiale s'exprime sous la forme :

$$y(0^{+})=\underset{t\to 0^{+}}{lim}y(t)=\underset{s\to \mathrm{\infty }}{lim}sH(s)X(s)$$

Valeur Finale

Lorsque la sortie converge vers une valeur finie, le théorème de la valeur finale permet d'obtenir rapidement cette valeur :

$$y(\mathrm{\infty })=\underset{t\to \mathrm{\infty }}{lim}y(t)=\underset{s\to 0}{lim}sH(s)X(s)$$

TIP

Lorsque l'entrée est un échelon d'amplitude $E$ $x(t)=Eu(t)$, il est possible d'établir que $y(\mathrm{\infty })=H(0)E$ où $H(0)$ correspond au gain statique du système.

Analyse Fréquentielle

Les exponentielles complexes de la forme $x(t)=e^{j\omega t}$ possèdent la particularité d'être des fonctions propres des systèmes SLIT. Cela signifie que si l'entrée d'un tel système est une exponentielle complexe, la sortie du système en régime permanent sera également une exponentielle complexe de même fréquence, mais modulée par un facteur de gain complexe. Cette propriété fondamentale permet de comprendre simplement l'effet d'un système SLIT sur des signaux pouvant se décomposer sous la forme d'exponentielles complexes.

Exponentielle Complexe

Lorsque l'entrée est une exponentielle complexe de pulsation $\omega$, c'est-à-dire $x(t)=e^{j\omega t}u(t)$, la solution particulière s'exprime sous la forme

$$y_p(t)=H(j\omega )e^{j\omega t}$$

• $H(j\omega )$ correspond à la fonction de transfert du système évaluée pour $s=j\omega$. Ce terme représente la réponse en fréquence du système, c'est-à-dire le gain complexe (amplitude et phase) que le système applique à l'entrée de pulsation $\omega$.

TIP

Dans le domaine fréquentiel, le contenu fréquentiel s'obtient en évaluant la fonction de transfert en $s=j\omega$.

Démonstration

Lorsque l'entrée s'exprime sous la forme $x(t)=e^{j\omega t}u(t)$, une solution particulière du système s'exprime sous la même forme, c'est-à-dire $y_p(t)=c{e}^{j\omega t}$. Pour déterminer le coefficient $c$, nous remplaçons $x(t)$ et $y_p(t)$ dans l'équation différentielle du système :

$$c{a}_n(j\omega {)}^n{e}^{j\omega t}+\cdots +c{a}_1(j\omega )e^{j\omega t}+c{a}_0{e}^{j\omega t}=b_m(j\omega {)}^m{e}^{j\omega t}+\cdots +b_0{e}^{j\omega t}.$$

En factorisant et en simplifiant, nous obtenons

$$c(a_n(j\omega {)}^n+\cdots +a_1(j\omega )+a_0)=b_m(j\omega {)}^m+\cdots +b_0.$$

Il en résulte que :

$$c=\frac{b_m(j\omega {)}^m+\cdots +b_0}{a_n(j\omega {)}^n+\cdots +a_1(j\omega )+a_0}$$

En identifiant avec la forme de la fonction de transfert, il est finalement possible d'établir que $c=H(j\omega )$.

Sinusoïde

Lorsque l'entrée du système est une sinusoïde de pulsation $\omega$, c'est-à-dire $x(t)=E\cos (\omega t+{\phi }_e)u(t)$, la solution particulière est également une sinusoïde de même pulsation et s'exprime sous la forme

$$y_p(t)=E|H(j\omega )|\cos (\omega t+{\phi }_e+\arg [H(j\omega )])$$

• $|H(j\omega )|$ correspond à l'amplification (ou au gain) du système à la pulsation $\omega$,
• $\arg [H(j\omega )]$ correspond au déphasage du système à la pulsation $\omega$.

Démonstration

La sinusoïde d'entrée peut se décomposer sous la forme de deux exponentielles complexes via la formule d'Euler :

$$x(t)=E\cos (\omega t+{\phi }_e)=\frac{E}{2}(e^{j(\omega t+{\phi }_e)}+e^{-j(\omega t+{\phi }_e)})u(t).$$

• Pour le terme $e^{j\omega t}$, la solution particulière est :

$$y_{+}(t)=\frac{E}{2}H(j\omega )e^{j(\omega t+{\phi }_e)}.$$

• Pour le terme $e^{-j\omega t}$, la solution particulière est :

$$y_{-}(t)=\frac{E}{2}H(-j\omega )e^{-j(\omega t+{\phi }_e)}.$$

En exploitant le fait que $H(-j\omega )=H^{\ast }(j\omega )$, nous obtenons

$$y_p(t)=y_{+}(t)+y_{-}(t)=\frac{E}{2}(H(j\omega )e^{j(\omega t+{\phi }_e)}+{(H(j\omega )e^{j(\omega t+{\phi }_e)})}^{\ast })$$

Il en vient que :

$$y_p(t)=E\text{Re}(H(j\omega )e^{j(\omega t+{\phi }_e)})$$

et donc

$$y_p(t)=E|H(j\omega )|\cos (\omega t+{\phi }_e+\arg [H(j\omega )]).$$

Diagramme de Bode

Le diagramme de Bode présente graphiquement :

• l'évolution de $|H(j\omega )|$ en fonction de $\omega$ (ou de la fréquence). Cette courbe est généralement représentée en utilisant des échelles logarithmiques pour le module et la pulsation
• l'évolution de $\arg [H(j\omega )]$ en fonction de $\omega$. Cette courbe est généralement représentée en degrés pour l'argument et en échelle logarithmique pour la pulsation.

Cette représentation permet de caractériser le comportement du système pour les différentes fréquences qui constituent le signal d'entrée. Le plus souvent, les axes des abscisses et des ordonnées sont représentés en échelle logarithmique pour mieux mettre en évidence certaines propriétés du système.

Notons que pour tous les systèmes réels ($a_n\in \mathbb{R}$ et $b_m\in \mathbb{R}$), la fonction de transfert respecte la propriété de symétrie hermitienne suivante: $H(j\omega )=H^{\ast }(-j\omega )$. Pour cette raison, il est courant de ne représenter le diagramme de Bode pour les pulsations positives $\omega >0$ uniquement.

Exemple : Diagramme de Bode d'un filtre RC passe-bas

Reprenons la fonction de transfert du filtre RC passe-bas établie précédemment :

$$H(s)=\frac{1}{RCs+1}$$

Pour obtenir la réponse fréquentielle, nous remplaçons $s$ par $j\omega$ :

$$H(j\omega )=\frac{1}{jRC\omega +1}=\frac{1}{1+jRC\omega }$$

Expression du module

Le module de $H(j\omega )$ s'obtient en calculant :

$$|H(j\omega )|=\frac{|1|}{|1+jRC\omega |}=\frac{1}{\sqrt{1^2+(RC\omega {)}^2}}=\frac{1}{\sqrt{1+(RC\omega {)}^2}}$$

En introduisant la pulsation de coupure ${\omega }_c=\frac{1}{RC}$, nous pouvons réécrire le module sous la forme :

$$|H(j\omega )|=\frac{1}{\sqrt{1+{\left(\frac{\omega }{{\omega }_c}\right)}^2}}$$

En décibels (dB), le module s'exprime sous la forme :

$$|H(j\omega ){|}_{\text{dB}}=20{\log }_{10}|H(j\omega )|=-10{\log }_{10}(1+{\left(\frac{\omega }{{\omega }_c}\right)}^2)$$

Expression de l'argument

L'argument de $H(j\omega )$ est égal à :

$$\arg [H(j\omega )]=\arg [1]-\arg [1+jRC\omega ]=0-\arctan (RC\omega )=-\arctan \left(\frac{\omega }{{\omega }_c}\right)$$

Nous pouvons analyser le comportement du filtre pour différentes plages de fréquences :

• Basses fréquences ($\omega \ll {\omega }_c$) : Le module tend vers $|H(j\omega )|\approx 1$ et l'argument tend vers $\arg [H(j\omega )]\approx 0°$. Le signal passe sans atténuation ni déphasage.

• À la pulsation de coupure ($\omega ={\omega }_c$) : Le module vaut $|H(j{\omega }_c)|=\frac{1}{\sqrt{2}}\approx 0.707$ (soit $-3$ dB) et l'argument vaut $\arg [H(j{\omega }_c)]=-45°$.

• Hautes fréquences ($\omega \gg {\omega }_c$) : Le module tend vers $|H(j\omega )|\approx \frac{{\omega }_c}{\omega }$ et l'argument tend vers $\arg [H(j\omega )]\approx -90°$. Le signal est fortement atténué.

Ce comportement confirme le caractère passe-bas du filtre RC : les basses fréquences sont transmises tandis que les hautes fréquences sont atténuées.

Diagramme de Bode

La figure suivante présente le diagramme de Bode du filtre RC passe-bas avec ${\omega }_c=1000$ rad/s. La ligne verticale en pointillé rouge indique la pulsation de coupure.

Diagramme de Bode du filtre RC passe-bas

On observe bien :

• Un module proche de $0$ dB pour $\omega \ll {\omega }_c$, puis une décroissance de $-20$ dB/décade pour $\omega \gg {\omega }_c$
• Un argument qui passe de $0°$ à $-90°$, avec $-45°$ à la pulsation de coupure