Fondamentaux des Systèmes SLIT

Hypothèses

Notons $x(t)$ et $y(t)$ l'entrée et la sortie d'un système. Notons également $\mathcal{H}$ l'opérateur qui transforme $x(t)$ en $y(t)$ c-à-d

$$x(t)\stackrel{\mathcal{H}}{\to }y(t)$$

Linéarité

Un système est dit linéaire s'il obéit au principe de superposition. Cela signifie que la sortie du système à une combinaison linéaire d'entrées est égale à la même combinaison linéaire des sorties individuelles correspondant à ces entrées. Formellement, si un système produit une sortie $y_1(t)$ en réponse à une entrée $x_1(t)$ et une sortie $y_2(t)$ en réponse à $x_2(t)$, alors pour n'importe quelles constantes $a$ et $b$, la sortie due à $a{x}_1(t)+b{x}_2(t)$ sera $a{y}_1(t)+b{y}_2(t)$.

$$\begin{array}{rl}{x}_1(t)& \stackrel{\mathcal{H}}{\to }{y}_1(t)\\ x_2(t)& \stackrel{\mathcal{H}}{\to }{y}_2(t)\\ a{x}_1(t)+b{x}_2(t)& \stackrel{\mathcal{H}}{\to }a{y}_1(t)+b{y}_2(t)\end{array}$$

Invariance dans le temps

Un système est dit invariant dans le temps si son comportement ne change pas avec le temps. Cela signifie que si une entrée $x(t)$ produit une sortie $y(t)$, alors, pour tout retard $\tau$, l'entrée $x(t-\tau )$ produira la sortie $y(t-\tau )$.

$$\begin{array}{rl}x(t)& \stackrel{\mathcal{H}}{\to }y(t)\\ x(t-\tau )& \stackrel{\mathcal{H}}{\to }y(t-\tau )\end{array}$$

Un Système Linéaire Invariant dans le Temps, ou SLIT, est un système qui respecte à la fois la propriété de linéarité et celle d'invariance dans le temps. Ces systèmes sont essentiels en ingénierie car ils peuvent être décrits et analysés de manière compacte en utilisant des outils mathématiques tels que la Transformée de Fourier ou la Transformée de Laplace.

Modélisation

Équation différentielle

Pour un SLIT, la relation entre l'entrée et la sortie peut généralement être représentée par une équation différentielle linéaire où les coefficients de cette équation ne varient pas avec le temps.

Considérons un système linéaire et invariant dans le temps (SLIT) décrit par une équation différentielle linéaire à coefficients constants d'ordre $n$ :

$$a_n\frac{d^{n}y(t)}{d{t}^n}+\cdots +a_1\frac{dy(t)}{dt}+a_{0}y(t)=b_m\frac{d^{m}x(t)}{d{t}^m}+\cdots +b_{0}x(t)$$

où :

• Membre de gauche (sortie) : décrit la sortie $y(t)$ et ses dérivées successives jusqu'à l'ordre $n$

  • $a_n,a_{n-1},\dots ,a_1,a_0\in \mathbb{R}$ sont les coefficients constants associés à la sortie
  • $a_n\ne 0$ par définition (sinon le système serait d'ordre inférieur)
  • $\frac{d^{k}y(t)}{d{t}^k}$ représente la dérivée d'ordre $k$ de la sortie

• Membre de droite (entrée) : décrit l'entrée $x(t)$ et ses dérivées successives jusqu'à l'ordre $m$

  • $b_m,b_{m-1},\dots ,b_1,b_0\in \mathbb{R}$ sont les coefficients constants associés à l'entrée
  • $\frac{d^{k}x(t)}{d{t}^k}$ représente la dérivée d'ordre $k$ de l'entrée

• Ordre du système : l'ordre $n$ correspond au degré de la dérivée la plus élevée de la sortie $y(t)$

• Causalité : pour qu'un système soit physiquement réalisable (causal), nous devons imposer la contrainte $m\le n$. En effet, un système causal ne peut pas réagir instantanément à des dérivées d'ordre supérieur de l'entrée par rapport à celles de la sortie.

Exemples d'ordres courants

• Ordre 1 ($n=1$, $m=0$) : $a_1\frac{dy(t)}{dt}+a_{0}y(t)=b_{0}x(t)$

  • Exemple : circuit RC, circuit RL

• Ordre 2 ($n=2$, $m=0$) : $a_2\frac{d^{2}y(t)}{d{t}^2}+a_1\frac{dy(t)}{dt}+a_{0}y(t)=b_{0}x(t)$

  • Exemple : circuit RLC, système masse-ressort-amortisseur

Conditions initiales

Pour résoudre complètement une équation différentielle, il est nécessaire de déterminer les constantes d'intégration en utilisant des conditions initiales. Dans le contexte des systèmes SLIT soumis à des signaux discontinus (comme un échelon), il est important de distinguer deux types de conditions initiales :

• Pré-conditions initiales : valeurs de la sortie et de ses dérivées juste avant l'application du signal d'entrée, évaluées à $t=0^{-}$.

  • Notation : $y(0^{-})$, $\frac{dy(0^{-})}{dt}$, etc.
  • Ces conditions décrivent l'état du système avant la discontinuité.

• Post-conditions initiales : valeurs de la sortie et de ses dérivées juste après l'application du signal d'entrée, évaluées à $t=0^{+}$.

  • Notation : $y(0^{+})$, $\frac{dy(0^{+})}{dt}$, etc.
  • Ces conditions décrivent l'état du système immédiatement après la discontinuité.

INFO

Pour un système initialement au repos (avant l'application de l'entrée), les pré-conditions initiales sont nulles : $y(0^{-})=0$ et $\frac{d^{k}y(0^{-})}{d{t}^k}=0$ pour tout $k$.

Les post-conditions initiales peuvent être différentes des pré-conditions initiales en présence d'une discontinuité dans l'entrée ou ses dérivées.

Résolution

Il est possible de déterminer la sortie du système à une entrée quelconque $x(t)$ en utilisant une approche temporelle basée sur la résolution de l'équation différentielle.

La solution complète de l'équation différentielle s'exprime sous la forme :

$$y(t)=y_l(t)+y_p(t)$$

• $y_l(t)$: solution libre (régime libre),
• $y_p(t)$: solution particulière (régime forcé).

Solution libre

Le terme $y_l(t)$ désigne la solution libre de l'équation sans second membre.

$$a_n\frac{d^{n}y(t)}{d{t}^n}+\cdots +a_1\frac{dy(t)}{dt}+a_{0}y(t)=0$$

Les solutions sont du type $e^{pt}$ avec $p\in \mathbb{C}$, ce qui permet d'aboutir à l'équation caractéristique :

$$f(p)=a_n{p}^n+\cdots +a_{1}p+a_0=0$$

Lorsque le polynôme caractéristique ne présente pas de racines multiples, la solution libre s'exprime sous la forme :

$$y_l(t)=\sum _{k=1}^n{\lambda }_k{e}^{p_{k}t}$$

• $p_k\in \mathbb{C}$ désignent les racines du polynôme caractéristique c-à-d $f(p_k)=0$.
• ${\lambda }_k\in \mathbb{C}$ désignent des constantes d'intégration. Ces constantes dépendent des conditions initiales du système.

Solution particulière

Le terme $y_p(t)$ désigne une solution particulière de l'équation avec second membre. Il n'y a pas d'expression générale permettant de déterminer $y_p(t)$ quelle que soit $x(t)$. Pour des entrées simples (polynômes, exponentiels, ...), il est possible d'utiliser la méthode des coefficients indéterminés. Cette méthode est applicable lorsque $x(t)$ est une fonction "simple" et exploite le fait que la solution particulière possède la même "forme" que $x(t)$.

Entrée	Forme de l'entrée $x(t)$	Forme de la solution particulière $y_p(t)$
Constante	$x(t)=K$	$y_p(t)=c$
Polynôme	$x(t)=K{t}^n$	$y_p(t)=c_n{t}^n+c_{n-1}{t}^{n-1}+\cdots +c_0$
Exponentielle	$x(t)=K{e}^{at}$	$y_p(t)=c{e}^{at}$
Sinusoïdale	$x(t)=K\cos (\omega t)$	$y_p(t)=A\cos (\omega t+\phi )$

Dans ce cours, nous nous intéresserons plus spécifiquement aux entrées suivantes:

• Impulsion: Lorsque $x(t)=\delta (t)$, la sortie du système est appelée réponse impulsionnelle,
• Échelon d'amplitude E: Lorsque $x(t)=Eu(t)$, la sortie du système est appelée réponse indicielle,
• Sinusoïde: Lorsque $x(t)=E\cos (\omega t+{\phi }_e)$, la sortie du système est appelée réponse fréquentielle.

TIP

Lorsque la réponse indicielle $y_u(t)$ est connue, il est possible d'obtenir la réponse impulsionnelle $y_{\delta }(t)$ en utilisant le fait que

$$y_{\delta }(t)=\frac{d{y}_u(t)}{dt}$$

Exemple : Circuit RC Passe-Bas

Considérons le circuit RC suivant, où nous souhaitons déterminer la réponse indicielle lorsque l'entrée est un échelon de tension d'amplitude $E$.

Notations :

• Entrée : $x(t)=V_{in}(t)$
• Sortie : $y(t)=V_{out}(t)=V_C(t)$ (tension aux bornes du condensateur)

Étape 1 : Obtention de l'équation différentielle

En appliquant la loi des mailles et en utilisant les relations constitutives des composants :

• Courant traversant le circuit : $i(t)=C\frac{dy(t)}{dt}$
• Tension aux bornes de la résistance : $V_R(t)=Ri(t)=RC\frac{dy(t)}{dt}$
• Loi des mailles : $x(t)=V_R(t)+y(t)$

En combinant ces relations, nous obtenons l'équation différentielle du premier ordre :

$$RC\frac{dy(t)}{dt}+y(t)=x(t)$$

ou de manière équivalente, en posant $\tau =RC$ (constante de temps) :

$$\tau \frac{dy(t)}{dt}+y(t)=x(t)$$

Cette équation est bien de la forme générale d'un système SLIT de premier ordre avec $a_1=\tau$, $a_0=1$ et $b_0=1$.

Étape 2 : Détermination de la réponse indicielle

Nous cherchons la sortie $y(t)$ lorsque l'entrée est un échelon d'amplitude $E$ : $x(t)=Eu(t)$, en supposant le système initialement au repos (pré-condition initiale nulle : $y(0^{-})=0$).

1. Solution libre

L'équation caractéristique est $\tau p+1=0$, qui donne la racine $p_1=-\frac{1}{\tau }=-\frac{1}{RC}$.

La solution libre s'exprime donc sous la forme :

$$y_l(t)=\lambda e^{-\frac{t}{\tau }}$$

2. Solution particulière

Pour une entrée constante ($x(t)=E$ pour $t\ge 0$), la solution particulière est de la forme $y_p(t)=\alpha$.

En substituant dans l'équation différentielle : $\tau \times 0+\alpha =E$, nous obtenons $\alpha =E$.

3. Solution complète

La solution complète pour $t\ge 0$ est :

$$y(t)=y_l(t)+y_p(t)=\lambda e^{-\frac{t}{\tau }}+E$$

4. Détermination de la constante d'intégration

En intégrant l'équation différentielle entre $t=0^{-}$ et $t=0^{+}$, on peut établir que la post-condition initiale est également nulle : $y(0^{+})=0$. En imposant cette post-condition initiale, nous obtenons :

$$y(0^{+})=\lambda +E=0\Rightarrow \lambda =-E$$

5. Expression finale

La réponse indicielle du circuit RC s'exprime finalement sous la forme :

$$y(t)=E(1-e^{-\frac{t}{\tau }})u(t)$$

Cette expression montre que la tension de sortie croît exponentiellement de 0 vers $E$ avec une constante de temps $\tau =RC$.