Systèmes d'Ordre 1 et 2

Systèmes de Premier Ordre

Modélisation

Équation différentielle

L'équation différentielle d'un système de premier ordre peut s'exprimer sous la forme suivante :

$$\tau \frac{dy(t)}{dt}+y(t)=b_1\frac{dx(t)}{dt}+b_{0}x(t)$$

• $\tau$ désigne la constante de temps [s].

Fonction de transfert

La fonction de transfert d'un système de premier ordre peut s'exprimer sous la forme normalisée suivante :

$$H(s)=\frac{N(s)}{\tau s+1}$$

• $N(s)$ désigne le numérateur de la fonction de transfert (polynôme de degré inférieur ou égal à 1).

Expression du pôle

Un système de premier ordre possède un unique pôle. Ce pôle s'obtient en cherchant l'unique racine du dénominateur de la fonction de transfert.

$$\tau s+1=0\Rightarrow p=-\frac{1}{\tau }$$

Exemples de circuits

Filtre RC Passe-Bas

Circuit : Résistance $R$ en série avec condensateur $C$. Sortie aux bornes de $C$.

$$H_{LP}(s)=\frac{T_0}{\tau s+1}$$

avec $\tau =RC$ et $T_0=1$.

Filtre RC Passe-Haut

Circuit : Condensateur $C$ en série avec résistance $R$. Sortie aux bornes de $R$.

$$H_{HP}(s)=\frac{T_{\mathrm{\infty }}\tau s}{\tau s+1}$$

avec $\tau =RC$ et $T_{\mathrm{\infty }}=1$.

Réponse Temporelle

La solution complète de l'équation différentielle s'exprime sous la forme :

$$y(t)=y_l(t)+y_p(t)$$

• $y_l(t)$: solution libre (régime libre)

$$y_l(t)=\lambda e^{-\frac{1}{\tau }t}$$

• $y_p(t)$: solution particulière (régime forcé). L'expression du régime forcé dépend de l'allure de l'entrée et des coefficients $b_0$ et $b_1$

Exemple : Réponse indicielle d'un passe-bas

Considérons la réponse d'un système de premier ordre à un échelon d'amplitude $E$, c-à-d $x(t)=Eu(t)$. Le système est supposé initialement au repos ($y(0^{-})=0$). Comme l'entrée est un échelon, le régime forcé est de la forme $y_p(t)=\alpha u(t)$. En remplaçant cette expression dans l'équation différentielle pour $t\ge 0$, nous obtenons $y_p(t)=T_{0}E$. Il en vient que :

$$y(t)=\lambda e^{-\frac{1}{\tau }t}+T_{0}E$$

La constante d'intégration s'obtient en déterminant une condition initiale. En intégrant l'équation différentielle entre $t=0^{-}$ et $t=0^{+}$, nous obtenons $y(0^{+})=0$. En exploitant cette équation, il en vient que :

$$y(0^{+})=\lambda \times 1+T_{0}E=0\Rightarrow \lambda =-T_{0}E,$$

Pour un filtre passe-bas de premier ordre, la réponse du système à un échelon d'amplitude $E$ s'exprime finalement sous la forme :

$$y(t)=T_{0}E(1-e^{-\frac{t}{\tau }})$$

Réponse Indicielle d'un filtre passe-bas de premier ordre

Valeurs Remarquables

• Valeur initiale : $y(0^{+})=0$,
• Valeur finale : $y(\mathrm{\infty })=T_{0}E$,
• Valeur maximale: $max(y(t))=T_{0}E$,
• Temps de réponse à $\pm 5\mathrm{\%}$: $t_r=3\tau$.

Réponse Fréquentielle

La réponse fréquentielle s'obtient en posant $s=j\omega$ dans l'expression de la fonction de transfert. Nous obtenons :

$$H(j\omega )=\frac{N(j\omega )}{j\frac{\omega }{{\omega }_c}+1}$$

• ${\omega }_c=\frac{1}{\tau }$ désigne la pulsation de coupure à -3dB [rad/s].

Passe-Bas

Réponse Fréquentielle d'un filtre passe-bas de premier ordre

• Module :

$$|H(j\omega )|=\frac{T_0}{\sqrt{{\left(\frac{\omega }{{\omega }_c}\right)}^2+1}}$$

• Argument :

$$\arg [H(j\omega )]=-\arctan \left(\frac{\omega }{{\omega }_c}\right)$$

Passe-Haut

Réponse Fréquentielle d'un filtre passe-haut de premier ordre

• Module :

$$|H(j\omega )|=\frac{T_{\mathrm{\infty }}\frac{\omega }{{\omega }_c}}{\sqrt{{\left(\frac{\omega }{{\omega }_c}\right)}^2+1}}$$

• Argument :

$$\arg [H(j\omega )]={90}^o-\arctan \left(\frac{\omega }{{\omega }_c}\right)$$

Systèmes de Second Ordre

Modélisation du système

Équation différentielle

L'équation différentielle d'un système de second ordre peut s'exprimer sous la forme suivante :

$$\frac{1}{{\omega }_0^2}\frac{d^{2}y(t)}{d{t}^2}+\frac{2m}{{\omega }_0}\frac{dy(t)}{dt}+y(t)=b_2\frac{d^{2}x(t)}{d{t}^2}+b_1\frac{dx(t)}{dt}+b_{0}x(t)$$

• ${\omega }_0$ désigne la pulsation propre [rad/s],
• $m$ désigne le coefficient d'amortissement,
• $Q=\frac{1}{2m}$ désigne le facteur de qualité.

Fonction de transfert

La fonction de transfert d'un système de second ordre peut s'exprimer sous la forme normalisée suivante :

$$H(s)=\frac{N(s)}{\frac{1}{{\omega }_0^2}{s}^2+\frac{2m}{{\omega }_0}s+1}$$

• $N(s)$ désigne le numérateur de la fonction de transfert (polynôme de degré inférieur ou égal à 2).

Exemples de circuits

Les 4 exemples ci-dessous présentent les fonctions de transfert normalisées ($a_0=1$) de second ordre. À l'exception du passe-haut ($m=n$), ces fonctions de transfert sont des fonctions rationnelles propres ($m<n$).

Passe-bas (LP)

$$H_{LP}(s)=\frac{T_0}{\frac{1}{{\omega }_0^2}{s}^2+\frac{2m}{{\omega }_0}s+1}$$

Exemple de circuit : Filtre RLC série ou structure Sallen-Key passe-bas.

Passe-bande (BP)

$$H_{BP}(s)=\frac{\frac{2m{T}_m}{{\omega }_0}s}{\frac{1}{{\omega }_0^2}{s}^2+\frac{2m}{{\omega }_0}s+1}$$

Exemple de circuit : Circuit RLC série avec sortie aux bornes de R.

Passe-haut (HP)

$$H_{HP}(s)=\frac{\frac{T_{\mathrm{\infty }}}{{\omega }_0^2}{s}^2}{\frac{1}{{\omega }_0^2}{s}^2+\frac{2m}{{\omega }_0}s+1}$$

Exemple de circuit : Structure Sallen-Key passe-haut.

Réjecteur (BR)

$$H_{BR}(s)=\frac{T_0(\frac{1}{{\omega }_0^2}{s}^2+1)}{\frac{1}{{\omega }_0^2}{s}^2+\frac{2m}{{\omega }_0}s+1}$$

Exemple de circuit : Circuit bouchon RLC.

Analyse du système

Expressions des Pôles

Les pôles s'obtiennent en déterminant les racines du dénominateur de la fonction de transfert c-à-d en déterminant les valeurs de $s$ telles que :

$$\frac{1}{{\omega }_0^2}{s}^2+\frac{2m}{{\omega }_0}s+1=0$$

Cette équation est une équation du second degré. Le discriminant s'exprime sous la forme suivante:

$$\mathrm{\Delta }={\left(\frac{2m}{{\omega }_0}\right)}^2-\frac{4}{{\omega }_0^2}=\frac{4}{{\omega }_0^2}(m^2-1)$$

L'expression du discriminant montre que la valeur de $m$ joue un rôle essentiel dans l'expression des deux racines. Spécifiquement, nous pouvons distinguer 3 cas de figure.

Cas où m>1

Lorsque $m>1$, le système possède deux pôles réels et distincts. Les pôles s'expriment sous la forme

$$\begin{array}{r}{p}_1=-m{\omega }_0+{\omega }_0\sqrt{m^2-1}\\ p_2=-m{\omega }_0-{\omega }_0\sqrt{m^2-1}\end{array}$$

Mathématiquement, les deux pôles possèdent les propriétés suivantes:

• le produit des deux pôles est égal à $p_1{p}_2=m^2{\omega }_0^2-{\omega }_0^2(m^2-1)={\omega }_0^2$
• la somme des deux pôles est égale à $p_1+p_2=-2m{\omega }_0$.

En utilisant ces 2 propriétés, il est possible d'identifier le coefficient d'amortissement et la pulsation propre via les relations :

$$\begin{array}{rl}{\omega }_0& =\sqrt{p_1{p}_2}\\ m& =-\frac{p_1+p_2}{2{\omega }_0}\end{array}$$

Géométriquement, les deux pôles sont placés sur un cercle de centre $-m{\omega }_0$ et de rayon ${\omega }_0\sqrt{m^2-1}$.

Cas où m=1

Lorsque $m=1$, le système possède un pôle réel double. Le pôle réel double s'exprime sous la forme

$$p_1=p_2=-m{\omega }_0$$

Cas où m<1

Lorsque $m<1$, le système possède une paire de pôles complexes-conjugués. Les pôles s'expriment sous la forme

$$\begin{array}{r}{p}_1=-m{\omega }_0+j{\omega }_0\sqrt{1-m^2}\\ p_2=-m{\omega }_0-j{\omega }_0\sqrt{1-m^2}\end{array}$$

Mathématiquement, il est possible de démontrer que :

• le module de chaque pôle est égal à $|p_1|=|p_2|=\sqrt{(m{\omega }_0{)}^2+{\omega }_0^2(1-m^2)}={\omega }_0$.
• l'angle formé entre le pôle $p_1$ et l'axe des réels est donné par $\cos (\theta )=-\text{Re}(p_1)/|p_1|=m$

En utilisant ces 2 propriétés, il est possible d'identifier le coefficient d'amortissement et la pulsation propre via les relations :

$$\begin{array}{rl}{\omega }_0& =\sqrt{p_1{p}_1^{\ast }}=|p_1|\\ m& =-\frac{\text{Re}(p_1)}{{\omega }_0}\end{array}$$

Équation Différentielle et Réponse Temporelle

En utilisant l'équation différentielle, la réponse à une entrée quelconque s'exprime sous la forme :

$$y(t)=y_l(t)+y_p(t)$$

• $y_l(t)$: solution libre,
• $y_p(t)$: solution particulière.

Cas où m>1

La solution libre s'exprime sous la forme :

$$y_l(t)={\lambda }_1{e}^{-(m-\sqrt{m^2-1}){\omega }_{0}t}+{\lambda }_2{e}^{-(m+\sqrt{m^2-1}){\omega }_{0}t}$$

Nous constatons que la solution libre est donnée par la contribution de deux systèmes de premier ordre ayant pour constantes de temps respectives:

$${\tau }_{1,2}=-\frac{1}{p_{1,2}}=\frac{1}{{\omega }_0(m\pm \sqrt{m^2-1})}$$

Cas où m<1

La solution libre s'exprime sous la forme d'une sinusoïde amortie:

$$y_l(t)=\alpha e^{-m{\omega }_{0}t}\cos ({\omega }_0\sqrt{1-m^2}t+\phi )$$

• $-m{\omega }_0$ régit la vitesse de décroissance de l'enveloppe,
• ${\omega }_0\sqrt{1-m^2}$ correspond à la pseudo-pulsation des oscillations [rad/s]

Démonstration

Lorsque $m<1$, comme la solution libre est réelle, cette solution s'exprime nécessairement sous la forme

$$y_l(t)={\lambda }_1{e}^{p_{1}t}+{\lambda }_2{e}^{p_{2}t}={\lambda }_1{e}^{p_{1}t}+{\lambda }_1^{\ast }{e}^{p_1^{\ast }t}$$

où ${\lambda }_1$ est un complexe. Comme cette solution est composée d'un complexe et de son complexe conjugué, il en vient que :

$$y_l(t)=2\text{Re}\left({\lambda }_1{e}^{p_{1}t}\right)$$

Cette expression peut également se simplifier en utilisant la décomposition sous forme polaire de la constante d'intégration et la décomposition sous forme algébrique de $p_1$. En effet, nous trouvons :

$$\begin{array}{rl}{y}_l(t)& =2\text{Re}(|{\lambda }_1|e^{j\arg [{\lambda }_1]}{e}^{(\text{Re}(p_1)+j\text{Im}(p_1))t})\\ & =2|{\lambda }_1|e^{\text{Re}(p_1)t}\text{Re}\left(e^{j(\text{Im}(p_1)t+\arg [{\lambda }_1])}\right)\\ & =2|{\lambda }_1|e^{\text{Re}(p_1)t}\cos (\text{Im}(p_1)t+\arg [{\lambda }_1])\end{array}$$

En utilisant l'expression de $p_1$ et en posant $\alpha =2|{\lambda }_1|$ et $\phi =\arg [{\lambda }_1]$, nous obtenons finalement :

$$y_l(t)=\alpha e^{-m{\omega }_{0}t}\cos ({\omega }_0\sqrt{1-m^2}t+\phi )$$

Propriétés

• Oscillations : pseudo-pulsation et pseudo-période.

$$\begin{array}{rl}{\omega }_p& ={\omega }_0\sqrt{1-m^2}\\ T_p& =\frac{2\pi }{{\omega }_0\sqrt{1-m^2}}\end{array}$$

• Ratio des amplitudes après une oscillation :

$$R=\frac{y_l(t_1)}{y_l(t_1+T_p)}=e^{\frac{2\pi m}{\sqrt{1-m^2}}}>1$$

Lorsque $m\ll 1$, ${\omega }_p\approx {\omega }_0$ et $R\approx e^{2\pi m}$. Cette propriété peut être utilisée pour identifier rapidement $m$ à partir de deux dépassements consécutifs de même signe.

Cas de la Réponse Indicielle

La réponse indicielle correspond à la réponse du système lorsque l'entrée est un échelon d'amplitude $E$, c-à-d :

$$x(t)=\{\begin{array}{cc}E& \text{si }t\ge 0\\ 0& \text{ailleurs}\end{array}$$

L'expression de la sortie peut s'obtenir en utilisant l'équation différentielle ou la transformée de Laplace inverse. Spécifiquement, il est possible d'établir que la transformée de Laplace de la sortie est égale à $Y(s)=H(s)\frac{E}{s}$. Dans le domaine temporel, la sortie s'obtient en utilisant une transformée de Laplace inverse. L'expression exacte de $y(t)$ nécessite alors à la fois une décomposition en éléments simples et l'utilisation des tables des transformées de Laplace.

Valeurs limites en $0^{+}$ et $\mathrm{\infty }$

Concernant les valeurs aux limites, il est possible d'obtenir rapidement le comportement en $t\to \mathrm{\infty }$ (valeur finale) et à la discontinuité c-à-d $t=0^{+}$ (valeur initiale) en utilisant les théorèmes de la valeur finale et initiale.

• Valeur finale: La valeur finale est donnée par

$$y(\mathrm{\infty })=\underset{s\to 0}{lim}sY(s)=H(0)E$$

• Valeur initiale. Pour la valeur initiale, nous nous intéressons à la fois à la valeur initiale de $y(t)$ et sa dérivée $\frac{dy(t)}{dt}$.

  • Concernant $y(t)$, nous obtenons :

    $$y(0^{+})=\underset{s\to \mathrm{\infty }}{lim}sY(s)=H(\mathrm{\infty })E$$

  • Concernant la dérivée de $y(t)$, nous obtenons

    $$\dot{y}(0^{+})={\frac{dy(t)}{dt}|}_{0^{+}}=\underset{s\to \mathrm{\infty }}{lim}{s}^{2}Y(s)=\underset{s\to \mathrm{\infty }}{lim}sH(s)E$$

Cas du passe-haut

Dans le cas du passe-haut, la valeur de la limite de $sH(s)E$ ne converge pas car la fonction de transfert est une fraction rationnelle impropre. Dans ce cas, il est nécessaire de décomposer la fonction de transfert sous la forme $H(s)=H_{\mathrm{\infty }}+H_1(s)$ où $H_{\mathrm{\infty }}$ est un gain et $H_1(s)$ est une fonction rationnelle propre. En utilisant cette décomposition et le fait que $H_{\mathrm{\infty }}$ n'impacte pas la valeur de $\dot{y}(0^{+})$ (terme associé à une impulsion de Dirac), il en vient que

$$\dot{y}(0^{+})=\underset{s\to \mathrm{\infty }}{lim}s{H}_1(s)E$$

Cette limite converge vers une valeur finie.

Réponse Fréquentielle

La réponse fréquentielle du système s'obtient en posant $s=j\omega$. En utilisant la forme générale d'un second ordre, nous obtenons :

$$H(j\omega )=\frac{N(j\omega )}{1-\frac{{\omega }^2}{{\omega }_0^2}+2jm\frac{\omega }{{\omega }_0}}$$

• Expression à la pulsation propre. À la pulsation propre $\omega ={\omega }_0$ [rad/s], la réponse fréquentielle s'exprime simplement sous la forme :

$$H(j{\omega }_0)=\frac{N(j{\omega }_0)}{2jm}$$

Expression du module

Le module s'exprime sous la forme générale suivante :

$$|H(j\omega )|=\frac{|N(j\omega )|}{\sqrt{{(1-{\mathrm{\Omega }}^2)}^2+4m^2{\mathrm{\Omega }}^2}}=|N(j\omega )|{({(1-{\mathrm{\Omega }}^2)}^2+4m^2{\mathrm{\Omega }}^2)}^{-1/2}$$

où $\mathrm{\Omega }=\frac{\omega }{{\omega }_0}$ correspond à la pulsation normalisée. En fonction de l'expression du numérateur et de la valeur de $m$, ce module peut présenter un extremum à la pulsation ${\omega }_r$. Si cet extremum existe, la pulsation ${\omega }_r$ s'obtient en annulant la dérivée du module. Lorsque l'extremum correspond à un maximum, la pulsation ${\omega }_r$ est appelée pulsation de résonance.

Expression de l'argument

Pour éviter les changements de cadrants liés à l'utilisation de la fonction arctangente, une pré-étape consiste à décomposer la fonction de transfert sous une forme plus simple à manipuler. Spécifiquement, une approche possible consiste à normaliser la partie réelle au dénominateur à 1 pour éviter les indéterminations de phase de la fonction arctangente. En utilisant cette normalisation, nous obtenons :

$$\arg [H(j\omega )]=\arg [N(j\omega )]-\arctan \left(\frac{1}{2m}(\mathrm{\Omega }-{\mathrm{\Omega }}^{-1})\right)$$

où $\mathrm{\Omega }=\frac{\omega }{{\omega }_0}$ correspond à la pulsation normalisée.

Démonstration

En décomposant la fonction de transfert sous la forme suivante :

$$H(j\omega )=N(j\omega )\times \frac{1}{1+\frac{j}{2m}(\frac{\omega }{{\omega }_0}-\frac{{\omega }_0}{\omega })}\times \frac{1}{2jm\frac{\omega }{{\omega }_0}}$$

Le deuxième terme possède un dénominateur avec une partie réelle positive (pas de changement de cadrant). Nous obtenons alors

$$\arg [H(j\omega )]=\arg [N(j\omega )]-\arg \left(\frac{1}{2m}(\frac{\omega }{{\omega }_0}-\frac{{\omega }_0}{\omega })\right)-\frac{\pi }{2}$$

Formes Normalisées

Passe-bas (LP)

$$H(s)=\frac{T_0}{\frac{1}{{\omega }_0^2}{s}^2+\frac{2m}{{\omega }_0}s+1}$$

• gain statique: $T_0$,
• pulsation propre: ${\omega }_0$ (rad/s),
• coefficient d'amortissement: $m$.

Réponse Indicielle

Expression

• Lorsque $m>1$, la réponse indicielle s'exprime sous la forme :

$$y(t)=T_{0}E(1-\frac{m+\sqrt{m^2-1}}{2\sqrt{m^2-1}}{e}^{-t/{\tau }_1}-\frac{m-\sqrt{m^2-1}}{2\sqrt{m^2-1}}{e}^{-t/{\tau }_2})u(t)$$

où ${\tau }_1=-1/p_1$ et ${\tau }_2=-1/p_2$ avec ${\tau }_1<{\tau }_2$.

• Lorsque $m<1$, la réponse indicielle s'exprime sous la forme :

$$y(t)=T_{0}E(1-\frac{e^{-m{\omega }_{0}t}}{\sqrt{1-m^2}}\cos ({\omega }_0\sqrt{1-m^2}t-\arctan \left(\frac{m}{\sqrt{1-m^2}}\right)))u(t)$$

Valeurs Limites

• Valeur initiale: $y(0^{+})=0$ et ${\frac{dy(t)}{dt}|}_{t=0^{+}}=0$.
• Valeur finale: $y(\mathrm{\infty })=T_{0}E$

Dépassement (si $m<1$)

Lorsque $m<1$, il est possible d'établir que la réponse indicielle présente des extrema en $t_k=\frac{k\pi }{{\omega }_0\sqrt{1-m^2}}$.

Démonstration

Pour obtenir la position des extrema lorsque $m<1$, il faut dériver l'expression de la réponse indicielle. Pour $t\ge 0$, nous trouvons :

$$\frac{dy(t)}{dt}=\frac{{\omega }_0}{\sqrt{1-m^2}}{e}^{-m{\omega }_{0}t}\sin ({\omega }_0\sqrt{1-m^2}t)$$

Cette dérivée s'annule lorsque ${\omega }_0\sqrt{1-m^2}t=k\pi$ avec $k\in {\mathbb{R}}^{+}$. Il en vient que :

$${\frac{dy(t)}{dt}|}_{t=t_k}=0\Rightarrow t_k=\frac{k\pi }{{\omega }_0\sqrt{1-m^2}}$$

Il est important de pouvoir quantifier la valeur maximale de la réponse indicielle. En pratique, nous utilisons le plus souvent le premier dépassement relatif qui est une grandeur indépendante de $E$, $T_0$ et de ${\omega }_0$. Cette grandeur s'exprime sous la forme

$$D_r(\mathrm{\%})=100\left|\frac{max(y(t))-y(\mathrm{\infty })}{y(\mathrm{\infty })}\right|=100e^{-\frac{\pi m}{\sqrt{1-m^2}}}$$

La valeur du premier dépassement peut s'obtenir rapidement en utilisant une abaque présentant $D_r(\mathrm{\%})=f(m)$ (voir abaque).

Temps de réponse

Dans certaines applications, il est nécessaire de quantifier la rapidité du système au moyen du temps de réponse à $\pm 5\mathrm{\%}$. Le temps de réponse $t_r$ est défini formellement comme le temps nécessaire pour atteindre définitivement $\pm 5\mathrm{\%}$ de la valeur finale $y(\mathrm{\infty })$. Mathématiquement, $t_r$ peut être défini de la manière suivante :

$$t_r=inf\{t\ge 0\mid \mathrm{\forall }\tau \ge t,|y(\tau )-y(\mathrm{\infty })|\le 0.05|y(\mathrm{\infty })|\}$$

Il est possible de démontrer que ce temps de réponse dépend uniquement de la pulsation propre ${\omega }_0$ et du coefficient d'amortissement $m$. Comme cette dépendance est complexe, la valeur du temps de réponse s'obtient généralement en utilisant une abaque présentant ${\omega }_0{t}_r=g(m)$ (voir abaque).

Comportement Fréquentiel

Point singulier et comportements asymptotiques

• Asymptote basse-fréquences: $H_{BF}(j\omega )=T_0$,
• Asymptote haute-fréquences: $H_{HF}(j\omega )=-T_0{\left(\frac{\omega }{{\omega }_0}\right)}^{-2}$,
• Valeur à la pulsation propre: $H(j{\omega }_0)=\frac{T_0}{2jm}$

Phénomène de résonance

Si $m<0.7$, la dérivée du module s'annule à la pulsation de résonance :

$${\omega }_r={\omega }_0\sqrt{1-2m^2}<{\omega }_0$$

À la pulsation de résonance, le module est égal à

$$|H(j{\omega }_r)|=\frac{T_0}{2m\sqrt{1-m^2}}>|H(j{\omega }_0)|$$

Passe-bande (BP)

$$H(s)=\frac{\frac{2m{T}_m}{{\omega }_0}s}{\frac{1}{{\omega }_0^2}{s}^2+\frac{2m}{{\omega }_0}s+1}$$

• gain maximum: $T_m$,
• pulsation propre: ${\omega }_0$ (rad/s),
• coefficient d'amortissement: $m$.

Réponse Indicielle

Valeurs Limites

• Valeur initiale: $y(0^{+})=0$ et ${\frac{dy(t)}{dt}|}_{t=0^{+}}=2m{\omega }_0{T}_{m}E$.
• Valeur finale: $y(\mathrm{\infty })=0$

Comportement Fréquentiel

Point singulier et comportements asymptotiques

• Asymptote basse-fréquences: $H_{BF}(j\omega )=2jm{T}_m\left(\frac{\omega }{{\omega }_0}\right)$,
• Asymptote haute-fréquences: $H_{HF}(j\omega )=-2jm{T}_m{\left(\frac{\omega }{{\omega }_0}\right)}^{-1}$,
• Intersection des asymptotes de module en $\omega ={\omega }_0$: $|T_i|=2m|T_m|$
• Valeur à la pulsation propre: $H(j{\omega }_0)=T_m$

Pulsation de coupure à -3dB et bande passante

• Pulsation de coupure. Le filtre passe-bande possède deux pulsations de coupure à $-3dB$ ($|H(j{\omega }_c)|=\frac{|T_m|}{\sqrt{2}}$). Ces pulsations s'expriment sous la forme :

$$\begin{array}{rl}{\omega }_{c1}& ={\omega }_0(-m+\sqrt{m^2+1})\\ {\omega }_{c2}& ={\omega }_0(m+\sqrt{m^2+1})\end{array}$$

• Bande passante à $-3$ dB. La bande passante à $-3$dB s'exprime sous la forme :

$$\mathrm{\Delta }\omega ={\omega }_{c2}-{\omega }_{c1}=2m{\omega }_0$$

Passe-haut (HP)

$$H(s)=\frac{\frac{T_{\mathrm{\infty }}}{{\omega }_0^2}{s}^2}{\frac{1}{{\omega }_0^2}{s}^2+\frac{2m}{{\omega }_0}s+1}$$

• gain haute-fréquence: $T_{\mathrm{\infty }}$,
• pulsation propre: ${\omega }_0$ (rad/s),
• coefficient d'amortissement: $m$.

Réponse Indicielle

Valeurs Limites

• Valeur initiale: $y(0^{+})=T_{\mathrm{\infty }}E$ et ${\frac{dy(t)}{dt}|}_{t=0^{+}}=-2m{\omega }_0{T}_{\mathrm{\infty }}E$.
• Valeur finale: $y(\mathrm{\infty })=0$

Comportement Fréquentiel

Point singulier et comportements asymptotiques

• Asymptote basse-fréquences: $H_{BF}(j\omega )=-T_{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{\omega }{{\omega }_0}\right)}^2$,
• Asymptote haute-fréquences: $H_{HF}(j\omega )=T_{\mathrm{\infty }}$,
• Valeur à la pulsation propre: $H(j{\omega }_0)=j\frac{T_{\mathrm{\infty }}}{2m}$

Phénomène de résonance

Si $m<0.7$, la dérivée du module s'annule à la pulsation de résonance :

$${\omega }_r=\frac{{\omega }_0}{\sqrt{1-2m^2}}>{\omega }_0$$

À la pulsation de résonance, le module est égal à

$$|H(j{\omega }_r)|=\frac{T_{\mathrm{\infty }}}{2m\sqrt{1-m^2}}>|H(j{\omega }_0)|$$

Réjecteur (Notch)

$$H(s)=\frac{T_0(\frac{1}{{\omega }_0^2}{s}^2+1)}{\frac{1}{{\omega }_0^2}{s}^2+\frac{2m}{{\omega }_0}s+1}$$

• gain maximum: $T_0$,
• pulsation propre: ${\omega }_0$ (rad/s),
• coefficient d'amortissement: $m$.

Réponse Indicielle

Valeurs Limites

• Valeur initiale: $y(0^{+})=T_{0}E$ et ${\frac{dy(t)}{dt}|}_{t=0^{+}}=-2m{\omega }_0{T}_{0}E$.
• Valeur finale: $y(\mathrm{\infty })=T_{0}E$

Comportement Fréquentiel

Point singulier et comportements asymptotiques

• Asymptote basse-fréquences: $H_{BF}(j\omega )=T_0$,
• Asymptote haute-fréquences: $H_{HF}(j\omega )=T_0$,
• Valeur à la pulsation propre: $H(j{\omega }_0)=0$

Pulsation de coupure à -3dB et bande rejetée

• Pulsation de coupure. Le filtre réjecteur possède deux pulsations de coupure à $-3dB$ ($|H(j{\omega }_c)|=\frac{|T_0|}{\sqrt{2}}$). Ces pulsations s'expriment sous la forme :

$$\begin{array}{rl}{\omega }_{c1}& ={\omega }_0(-m+\sqrt{m^2+1})\\ {\omega }_{c2}& ={\omega }_0(m+\sqrt{m^2+1})\end{array}$$

• Bande rejetée à $-3$ dB. La bande rejetée à $-3$dB s'exprime sous la forme :

$$\mathrm{\Delta }\omega ={\omega }_{c2}-{\omega }_{c1}=2m{\omega }_0$$