Rappels d'Electronique

Dipôles de Base

Resistance

Modèle : $u (t) = R i (t)$
Impedance généralisée : $Z_{R} = R$

Condensateur

Modèle : $i (t) = C \frac{d u (t)}{d t}$
Impedance généralisée : $Z_{C} = \frac{1}{C s}$

Bobine

Modèle : $u (t) = L \frac{d i (t)}{d t}$
Impedance généralisée: $Z_{L} = L s$

Associations de dipôles

Mise en série

Impedance généralisée équivalente :

Z_{e q} = Z_{1} + Z_{2}

Mise en parallèle

Impedance généralisée équivalente :

\frac{1}{Z_{e q}} = \frac{1}{Z_{1}} + \frac{1}{Z_{2}}

Pont diviseur

Mise en équation :

\frac{V_{2} (s)}{V_{1} (s)} = \frac{Z_{2}}{Z_{1} + Z_{2}}

Potentiel des noeuds

Mise en équation :

\frac{V_{1} (s) - V_{A} (s)}{Z_{1}} + \frac{V_{2} (s) - V_{A} (s)}{Z_{2}} + \frac{V_{3} (s) - V_{A} (s)}{Z_{3}} = 0

Exemple

On considère le circuit suivant :

Mise en équation

Soit V la tension aux bornes de $R_{2}$ . Cette tension représente le potentiel du noeud d'entrée du circuit.

Equation 1 (loi des noeuds)

\frac{V_{X} (s) - V (s)}{R_{1}} + \frac{0 - V (s)}{R_{2}} + \frac{V_{s} (s) - V (s)}{Z_{C 2}} + \frac{V^{-} (s) - V (s)}{Z_{C 1}} = 0

Equation 2 (loi des noeuds)

\frac{V (s) - V_{-} (s)}{Z_{C 1}} + \frac{V_{s} (s) - V_{-} (s)}{R_{3}} = 0

Equation 3 (AOP regime linéaire)

V_{+} (s) = V_{-} (s)

Equation 4 (entrée +):

V_{+} (s) = 0

Fonction de transfert

Pour obtenir la fonction de transfert, nous allons déterminer une équation avec que des termes en $V_{X} (s)$ d'un côté et que des termes en $V_{s} (s)$ de l'autre côté.

En manipulant les 4 équations, nous obtenons :

\frac{V_{X} (s)}{R_{1}} = - \frac{V_{s} (s)}{Z_{C 2}} + \frac{V (s)}{Z_{C 2}} + \frac{V (s)}{R_{2}} + \frac{V (s)}{Z_{C 1}} + \frac{V (s)}{R_{1}}

V (s) = - \frac{Z_{C 1}}{R_{3}} V_{s} (s)

Il en vient que

\frac{V_{X} (s)}{R_{1}} = - V_{s} (s) (\frac{1}{Z_{C 2}} - \frac{Z_{C 1}}{Z_{C 2} R_{3}} - \frac{Z_{C 1}}{R_{2} R_{3}} - \frac{1}{R_{3}} - \frac{Z_{C 1}}{R_{1} R_{3}})

En remplaçant les impédances par leur expressions et en mettant tout sous le même denominateur pour le terme de droite, nous obtenons

\frac{V_{X} (s)}{R_{1}} = - \frac{V_{s} (s)}{R_{1} R_{2} R_{3} C_{1} s} (R_{1} R_{2} R_{3} C_{1} C_{2} s^{2} + R_{1} R_{2} C_{2} s + R_{1} + R_{1} R_{2} C_{1} s + R_{2})

Finalement,

H (s) = \frac{V_{s} (s)}{V_{X} (s)} = - \frac{\frac{R_{2} R_{3}}{R_{1} + R_{2}} C_{1} s}{\frac{R_{1} R_{2} R_{3}}{R_{1} + R_{2}} C_{1} C_{2} s^{2} + \frac{R_{1} R_{2}}{R_{1} + R_{2}} (C_{1} + C_{2}) s + 1}

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Dipôles de Base ​

Resistance ​

Condensateur ​

Bobine ​

Associations de dipôles ​

Mise en série ​

Mise en parallèle ​

Pont diviseur ​

Potentiel des noeuds ​

Exemple ​

Mise en équation ​

Fonction de transfert ​