Rappels sur les Équations Differentielles

Modèle Mathématique

Une équation différentielle linéaire à coefficients constants d'ordre n s'exprime sous la forme

$$a_n\frac{d^{n}y(t)}{d{t}^n}+\cdots +a_1\frac{dy(t)}{dt}+a_{0}y(t)=b_m\frac{d^{m}x(t)}{d{t}^m}+\cdots +b_{0}x(t)$$

• $a_n$ et $b_m$ désignent les paramètres de l'équation différentielle,
• La partie droite de l'équation est appelée second membre.

Expression de la Solution

La solution complète de l'équation différentielle s'exprime sous la forme :

$$y(t)=y_l(t)+y_p(t)$$

• $y_l(t)$: solution libre (régime libre),
• $y_p(t)$: solution particulière (régime forcé).

Solution libre

Le terme $y_l(t)$ désigne la solution libre de l'équation sans second membre définie par :

$$a_n\frac{d^{n}y(t)}{d{t}^n}+\cdots +a_1\frac{dy(t)}{dt}+a_{0}y(t)=0$$

Lorsque le polynôme caractéristique ne présente pas de racines multiples, la solution libre s'exprime sous la forme

$$y_l(t)=\sum _{k=1}^n{\lambda }_k{e}^{p_{k}t}$$

• ${\lambda }_k\in \mathbb{C}$ désignent des constantes d'intégration. Ces constantes peuvent être déterminées à partir de la connaissance des conditions initiales de l'équation différentielle.
• $p_k\in \mathbb{C}$ désignent les racines du polynôme caractéristique $a_n{p}^n+a_{n-1}{p}^{n-1}+\cdots +a_{1}p+a_0$. Ces racines correspondent aux pôles du système.
• Lorsqu'un pôle (ou plus) possède une partie réelle positive, la solution libre diverge. Dans ce cas, le système est instable.

Solution particulière

Le terme $y_p(t)$ désigne une solution particulière de l'équation avec second membre. Il n'y a pas d'expression générale permettant de déterminer $y_p(t)$ quelle que soit $x(t)$. Pour des entrées simples (polynômes, exponentiels, ...), il est possible d'utiliser la méthode des coefficients indéterminés. Cette méthode est applicable lorsque $x(t)$ est une fonction "simple", c'est-à-dire un polynôme, une exponentielle, une sinusoïde, etc et exploite le fait que la solution particulière possède la même "forme" que $x(t)$.

Par exemple,

• Si $x(t)=\alpha$ est une constante, $y_p(t)=\beta$ est un coefficient constant,
• Si $x(t)$ est un polynôme de degré $Q$, $y_p(t)$ est un polynôme de degré $Q$ (avec des coefficients différents),
• Si $x(t)$ est une sinusoïde de pulsation $\omega$, $y_p(t)$ est une sinusoïde de pulsation $\omega$ (avec une amplitude et une phase différentes).

Les coefficients de la solution particulière s'obtiennent par identification en remplaçant $y(t)$ par $y_p(t)$ dans l'équation différentielle.

Exemple

Système de Premier Ordre

Considérons l'équation différentielle suivante de premier ordre

$$\tau \frac{dy(t)}{dt}+y(t)=Ku(t)$$

où $u(t)$ désigne l'échelon unité ($u(t)=0$ si $t<0$ et $u(t)=1$ si $t\ge 0$) et $y(0)=0$.

La solution complète s'exprime sous la forme :

$$y(t)=y_l(t)+y_p(t)$$

• Solution libre: $y_l(t)={\lambda }_1{e}^{p_{1}t}$ avec $\tau p_1+1=0\Rightarrow p_1=-\frac{1}{\tau }$.
• Solution particulière [méthode des coefficients indéterminés]: $y_p(t)=\beta$. En remplaçant $y(t)$ par $y_p(t)$ dans l'équation différentielle, nous trouvons $\tau \times 0+\beta =K\times 1\Rightarrow \beta =K$.

La solution complète s'exprime alors sous la forme :

$$y(t)={\lambda }_1{e}^{-\frac{1}{\tau }t}+K$$

Pour déterminer la constante d'intégration ${\lambda }_1$, il est nécessaire d'exploiter une condition initiale. A titre d'exemple, en imposant la condition initiale $y(0)=0$, nous obtenons ${\lambda }_1+K=0\Rightarrow {\lambda }_1=-K$. Pour $t\ge 0$, nous obtenons finalement l'expression :

$$y(t)=K(1-e^{-\frac{1}{\tau }t})$$