Rappels Mathématiques

Nombres Complexes

Notons $j$ l'imaginaire pur tel que $j^2=-1$ et $\mathbb{C}$ le corps des complexes.

Forme algébrique

Tout nombre complexe $z\in \mathbb{C}$ s'écrit sous la forme :

$$z=a+jb$$

• $a=\mathrm{\Re }e(z)$ correspond à la partie réelle,
• $b=\mathrm{\Im }m(z)$ correspond à la partie imaginaire.

Complexe Conjugué

On appelle conjugué de $z$ le nombre complexe

$$z^{\ast }=a-jb$$

Exponentielle Complexe

L'exponentielle complexe est définie par

$$e^{j\theta }=\cos (\theta )+j\sin (\theta )$$

• Multiplication : La multiplication de deux exponentielles complexes donne : $e^{j{\theta }_1}{e}^{j{\theta }_2}=e^{j({\theta }_1+{\theta }_2)}$,
• Conjugaison : Le conjugué d'une exponentielle complexe est égal à : ${\left(e^{j\theta }\right)}^{\ast }=e^{-j\theta }$,
• Périodicité: L'exponentielle complexe est $2\pi$-périodique,
• Formules d'Euler : Les formules d'Euler permettent d'exprimer le cosinus ou le sinus à partie de l'exponentielle complexe

$$\begin{array}{r}\cos (\theta )=\mathrm{\Re }e(e^{j\theta })=\frac{1}{2}(e^{j\theta }+e^{-j\theta })\\ \sin (\theta )=\mathrm{\Im }m(e^{j\theta })=\frac{1}{2j}(e^{j\theta }-e^{-j\theta })\end{array}$$

Forme Polaire

Tout nombre complexe $z\in \mathbb{C}$ non nul peut s'écrire sous la forme :

$$z=\rho e^{j\theta }$$

• $\rho =|z|$ correspond au module,
• $\theta =\arg [z]$ correspond à l'argument (modulo $2\pi$).

Propriétés

Soit deux complexes $z_1$ et $z_2$.

• Le module et l'argument de $z=z_1{z}_2$ sont donnés par :

$$\begin{array}{rl}|z|& =|z_1|\times |z_2|\\ \arg [z]& =\arg [z_1]+\arg [z_2]\end{array}$$

• Le module et l'argument de $z=z_1/z_2$ sont donnés par :

$$\begin{array}{rl}|z|& =\frac{|z_1|}{|z_2|}\\ \arg [z]& =\arg [z_1]-\arg [z_2]\end{array}$$

Conversion

Soit un nombre complexe $z=a+jb$, alors

$$\begin{array}{rl}|z|& =\sqrt{a^2+b^2}\\ \theta & =\{\begin{array}{lc}\arctan (b/a)& \text{, si }a>0,\\ \pi +\arctan (b/a)& \text{, si }a<0.\end{array}\end{array}$$

Trigonométrie

Formules d'Addition

Les formules d'addition permettent de développer les fonctions trigonométriques d'une somme ou différence d'angles.

Cosinus

$$\begin{array}{rl}\cos (\alpha +\beta )& =\cos (\alpha )\cos (\beta )-\sin (\alpha )\sin (\beta )\\ \cos (\alpha -\beta )& =\cos (\alpha )\cos (\beta )+\sin (\alpha )\sin (\beta )\end{array}$$

Sinus

$$\begin{array}{rl}\sin (\alpha +\beta )& =\sin (\alpha )\cos (\beta )+\cos (\alpha )\sin (\beta )\\ \sin (\alpha -\beta )& =\sin (\alpha )\cos (\beta )-\cos (\alpha )\sin (\beta )\end{array}$$

Factorisation d'une Combinaison Linéaire

Forme Générale

Toute combinaison linéaire d'un cosinus et d'un sinus de même pulsation peut se réécrire sous forme d'un unique cosinus déphasé :

$$a\cos (\omega t)+b\sin (\omega t)=C\cos (\omega t-\phi )$$

où :

• $C=\sqrt{a^2+b^2}$ correspond à l'amplitude,
• $\phi =\arctan \left(\frac{b}{a}\right)$ correspond au déphasage (pour $a>0$).

Démonstration

En développant $C\cos (\omega t-\phi )$ à l'aide de la formule d'addition :

$$C\cos (\omega t-\phi )=C\cos (\omega t)\cos (\phi )+C\sin (\omega t)\sin (\phi )$$

Par identification avec $a\cos (\omega t)+b\sin (\omega t)$, on obtient :

$$\begin{array}{rl}a& =C\cos (\phi )\\ b& =C\sin (\phi )\end{array}$$

En calculant $a^2+b^2$ :

$$a^2+b^2=C^2{\cos }^2(\phi )+C^2{\sin }^2(\phi )=C^2$$

D'où $C=\sqrt{a^2+b^2}$.

En calculant le rapport $b/a$ :

$$\frac{b}{a}=\frac{C\sin (\phi )}{C\cos (\phi )}=\tan (\phi )$$

D'où $\phi =\arctan (b/a)$ pour $a>0$.

Cas Général pour le Déphasage

Le calcul de $\phi$ dépend du signe de $a$ :

$$\phi =\{\begin{array}{lc}\arctan (b/a)& \text{, si }a>0\\ \pi +\arctan (b/a)& \text{, si }a<0\end{array}$$

Exemple

Factorisons le signal $x(t)=3\cos (\omega t)+4\sin (\omega t)$.

Calcul de l'amplitude :

$$C=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$$

Calcul du déphasage :

$$\phi =\arctan \left(\frac{4}{3}\right)\approx 0.93\text{ rad}\approx 53.1°$$

Résultat :

$$x(t)=5\cos (\omega t-0.93)$$

Formules de Linéarisation

Les formules de linéarisation permettent d'exprimer les puissances de fonctions trigonométriques en fonction d'angles multiples.

$$\begin{array}{rl}{\cos }^2(\theta )& =\frac{1+\cos (2\theta )}{2}\\ {\sin }^2(\theta )& =\frac{1-\cos (2\theta )}{2}\\ \cos (\theta )\sin (\theta )& =\frac{\sin (2\theta )}{2}\end{array}$$

Ces formules se démontrent facilement à partir des formules d'Euler et de l'identité ${\cos }^2(\theta )+{\sin }^2(\theta )=1$.

Polynômes

Forme générale

Modèle Mathématique

Un polynôme de degré $n$ est décrit par l'équation suivante :

$$p(x)=a_n{x}^n+\cdots +a_{1}x+a_0$$

• $n$ correspond au degré du polynôme,
• $a_l$ correspondent aux coefficients du polynôme.

Racines

Les racines d'un polynôme de degré $n$ correspondent aux solutions de l'équation polynomiale suivante :

$$p(x)=0$$

Lorsque les coefficients $a_l$ sont réels et non nuls, le polynôme $p(x)$ possède au plus $n$ racines. Ces racines peuvent être réelles ou complexes.

Cas du degré 2

Modèle Mathématique

Un polynôme de degré 2 est décrit par l'équation suivante :

$$p(x)=a{x}^2+bx+c$$

Racines

L'expression des racines s'obtient en évaluant le discriminant :

$$\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$$

• Si $\mathrm{\Delta }>0$, le polynôme possède deux racines réelles distinctes :

$$\begin{array}{r}{x}_1=\frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}\\ x_2=\frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}\end{array}$$

• Si $\mathrm{\Delta }=0$, le polynôme possède une racine double réelle :

$$x_1=x_2=-\frac{b}{2a}$$

• Si $\mathrm{\Delta }<0$, le polynôme possède deux racines complexes distinctes :

$$\begin{array}{r}{x}_1=\frac{-b+j\sqrt{-\mathrm{\Delta }}}{2a}\\ x_2=\frac{-b-j\sqrt{-\mathrm{\Delta }}}{2a}\end{array}$$

Décomposition en Éléments Simples

Principe

La décomposition en éléments simples permet de réécrire une fraction rationnelle $F(s)=\frac{N(s)}{D(s)}$ comme une somme de fractions plus simples. Cette technique est particulièrement utile pour le calcul de primitives et pour la transformée de Laplace inverse.

Conditions d'Application

Pour appliquer la décomposition en éléments simples, il faut que :

• Le degré du numérateur $N(s)$ soit strictement inférieur au degré du dénominateur $D(s)$
• Si ce n'est pas le cas, il faut d'abord effectuer une division euclidienne

Cas des Pôles Simples Réels

Soit une fraction rationnelle avec des pôles simples réels $p_0,p_1,\dots ,p_{n-1}$ :

$$F(s)=\frac{N(s)}{(s-p_0)(s-p_1)\cdots (s-p_{n-1})}$$

La décomposition s'écrit :

$$F(s)=\frac{c_0}{s-p_0}+\frac{c_1}{s-p_1}+\cdots +\frac{c_{n-1}}{s-p_{n-1}}$$

Méthode de Heaviside (Cover-up Method)

La méthode de Heaviside permet de calculer rapidement les coefficients $c_k$ pour des pôles simples. Le coefficient $c_k$ associé au pôle $p_k$ est donné par :

$$c_k=\underset{s\to p_k}{lim}(s-p_k)F(s)$$

En pratique, cela revient à "masquer" le terme $(s-p_k)$ au dénominateur et à évaluer l'expression restante en $s=p_k$ :

$$c_k={\frac{N(s)}{\prod _{i\ne k}(s-p_i)}|}_{s=p_k}$$

Exemple

Décomposons la fraction :

$$F(s)=\frac{2s+1}{(s-1)(s+2)}$$

Calcul de $c_0$ (pôle $p_0=1$) :

$$c_0={\frac{2s+1}{s+2}|}_{s=1}=\frac{2(1)+1}{1+2}=\frac{3}{3}=1$$

Calcul de $c_1$ (pôle $p_1=-2$) :

$$c_1={\frac{2s+1}{s-1}|}_{s=-2}=\frac{2(-2)+1}{-2-1}=\frac{-3}{-3}=1$$

Résultat :

$$F(s)=\frac{1}{s-1}+\frac{1}{s+2}$$

Cas des Pôles Multiples

Si un pôle $p$ est de multiplicité $m$, la décomposition contient les termes :

$$\frac{c_0}{s-p}+\frac{c_1}{(s-p{)}^2}+\cdots +\frac{c_{m-1}}{(s-p{)}^m}$$

Le coefficient de plus haut degré $c_{m-1}$ se calcule par la méthode de Heaviside :

$$c_{m-1}=\underset{s\to p}{lim}(s-p{)}^{m}F(s)$$

Les autres coefficients $c_{m-1-k}$ s'obtiennent par dérivation successive :

$$c_{m-1-k}=\frac{1}{k!}\underset{s\to p}{lim}\frac{d^k}{d{s}^k}[(s-p{)}^{m}F(s)]$$

Cas des Pôles Complexes Conjugués

Pour des pôles complexes conjugués $p=\alpha +j\beta$ et $p^{\ast }=\alpha -j\beta$, on peut regrouper en une fraction du second degré :

$$\frac{c_0(s-\alpha )+c_1}{(s-\alpha {)}^2+{\beta }^2}$$

Cette forme est particulièrement adaptée pour la transformée de Laplace inverse car elle fait apparaître directement les termes en $e^{\alpha t}\cos (\beta t)$ et $e^{\alpha t}\sin (\beta t)$.

Intégration

Primitives Usuelles

Voici les primitives les plus courantes :

Fonction $f(x)$	Primitive $F(x)$
$x^n$ ($n\ne -1$)	$\frac{x^{n+1}}{n+1}$
$\frac{1}{x}$	$\ln
$e^{ax}$	$\frac{1}{a}{e}^{ax}$
$\cos (ax)$	$\frac{1}{a}\sin (ax)$
$\sin (ax)$	$-\frac{1}{a}\cos (ax)$
$\frac{1}{x-a}$	$\ln
$\frac{1}{(x-a{)}^n}$ ($n\ne 1$)	$\frac{-1}{(n-1)(x-a{)}^{n-1}}$

Intégration par Parties

Formule

L'intégration par parties est basée sur la formule de dérivation d'un produit. Pour deux fonctions $u(x)$ et $v(x)$ dérivables :

$$\int u(x)v^{\prime }(x)dx=u(x)v(x)-\int u^{\prime }(x)v(x)dx$$

Sous forme condensée avec $u=u(x)$, $v=v(x)$, $du=u^{\prime }(x)dx$ et $dv=v^{\prime }(x)dx$ :

$$\int udv=uv-\int vdu$$

Choix de $u$ et $dv$

Le choix de $u$ et $dv$ est crucial pour simplifier l'intégrale. Une règle mnémotechnique est LIATE (par ordre de priorité pour $u$) :

• Logarithmes : $\ln (x)$, $\log (x)$
• Inverses trigonométriques : $\arctan (x)$, $\arcsin (x)$
• Algébriques : $x^n$, polynômes
• Trigonométriques : $\sin (x)$, $\cos (x)$
• Exponentielles : $e^x$

Exemple 1 : $\int x{e}^{x}dx$

On pose :

• $u=x$ $\Rightarrow$ $du=dx$
• $dv=e^{x}dx$ $\Rightarrow$ $v=e^x$

Application de la formule :

$$\int x{e}^{x}dx=x{e}^x-\int e^{x}dx=x{e}^x-e^x+C=e^x(x-1)+C$$

Exemple 2 : $\int \ln (x)dx$

On pose :

• $u=\ln (x)$ $\Rightarrow$ $du=\frac{1}{x}dx$
• $dv=dx$ $\Rightarrow$ $v=x$

Application de la formule :

$$\int \ln (x)dx=x\ln (x)-\int x\cdot \frac{1}{x}dx=x\ln (x)-\int 1dx=x\ln (x)-x+C$$

Exemple 3 : $\int x^2\cos (x)dx$

Cette intégrale nécessite deux intégrations par parties successives.

Première intégration :

• $u=x^2$ $\Rightarrow$ $du=2xdx$
• $dv=\cos (x)dx$ $\Rightarrow$ $v=\sin (x)$

$$\int x^2\cos (x)dx=x^2\sin (x)-2\int x\sin (x)dx$$

Deuxième intégration :

• $u=x$ $\Rightarrow$ $du=dx$
• $dv=\sin (x)dx$ $\Rightarrow$ $v=-\cos (x)$

$$\int x\sin (x)dx=-x\cos (x)+\int \cos (x)dx=-x\cos (x)+\sin (x)$$

Résultat final :

$$\int x^2\cos (x)dx=x^2\sin (x)-2[-x\cos (x)+\sin (x)]+C$$$$=x^2\sin (x)+2x\cos (x)-2\sin (x)+C$$

Changement de Variable

Le changement de variable est une autre technique fondamentale. Si $x=\phi (t)$, alors :

$$\int f(x)dx=\int f(\phi (t))\cdot {\phi }^{\prime }(t)dt$$

Exemple : $\int \frac{2x}{1+x^2}dx$

On pose $u=1+x^2$, donc $du=2xdx$.

$$\int \frac{2x}{1+x^2}dx=\int \frac{du}{u}=\ln |u|+C=\ln (1+x^2)+C$$