Systèmes de Second Ordre

Modélisation du système

Équation différentielle

L'équation différentielle d'un système de second ordre peut s'exprimer sous la forme suivante :

$$\frac{1}{{\omega }_0^2}\frac{d^{2}y(t)}{d{t}^2}+\frac{2m}{{\omega }_0}\frac{dy(t)}{dt}+y(t)=b_2\frac{d^{2}x(t)}{d{t}^2}+b_1\frac{dx(t)}{dt}+b_{0}x(t)$$

• ${\omega }_0$ désigne la pulsation propre [rad/s],
• $m$ désigne le coefficient d'amortissement,
• $Q=\frac{1}{2m}$ désigne le facteur de qualité.

Fonction de transfert

La fonction de transfert d'un système de second ordre peut s'exprimer sous la forme normalisée suivante :

$$H(s)=\frac{N(s)}{\frac{1}{{\omega }_0^2}{s}^2+\frac{2m}{{\omega }_0}s+1}$$

• $N(s)$ désigne le numérateur de la fonction de transfert (polynôme de degré inférieur ou égal à 2).

Exemples

Les 4 exemples ci-dessous présentent les fonctions de transfert normalisées ($a_0=1$) de second ordre. À l'exception du passe-haut ($m=n$), ces fonctions de transfert sont des fonctions rationnelles propres ($m<n$).

Passe-bas (LP2)

$$H_{LP}(s)=\frac{T_0}{\frac{1}{{\omega }_0^2}{s}^2+\frac{2m}{{\omega }_0}s+1}$$

Exemple de circuit : Filtre RLC série ou structure Sallen-Key passe-bas.

Passe-bande (BP2)

$$H_{BP}(s)=\frac{\frac{2m{T}_m}{{\omega }_0}s}{\frac{1}{{\omega }_0^2}{s}^2+\frac{2m}{{\omega }_0}s+1}$$

Exemple de circuit : Circuit RLC série avec sortie aux bornes de R.

Passe-haut (HP2)

$$H_{HP}(s)=\frac{\frac{T_{\mathrm{\infty }}}{{\omega }_0^2}{s}^2}{\frac{1}{{\omega }_0^2}{s}^2+\frac{2m}{{\omega }_0}s+1}$$

Exemple de circuit : Structure Sallen-Key passe-haut.

Réjecteur (BR2)

$$H_{BR}(s)=\frac{T_0(\frac{1}{{\omega }_0^2}{s}^2+1)}{\frac{1}{{\omega }_0^2}{s}^2+\frac{2m}{{\omega }_0}s+1}$$

Exemple de circuit : Circuit bouchon RLC.

Expressions des Pôles

Les pôles s'obtiennent en déterminant les racines du dénominateur de la fonction de transfert c-à-d en déterminant les valeurs de $s$ telles que :

$$\frac{1}{{\omega }_0^2}{s}^2+\frac{2m}{{\omega }_0}s+1=0$$

Cette équation est une équation du second degré. Le discriminant s'exprime sous la forme suivante:

$$\mathrm{\Delta }={\left(\frac{2m}{{\omega }_0}\right)}^2-\frac{4}{{\omega }_0^2}=\frac{4}{{\omega }_0^2}(m^2-1)$$

L'expression du discriminant montre que la valeur de $m$ joue un rôle essentiel dans l'expression des deux racines. Spécifiquement, nous pouvons distinguer 3 cas de figure.

Cas où m>1

Lorsque $m>1$, le système possède deux pôles réels et distincts. Les pôles s'expriment sous la forme

$$\begin{array}{r}{p}_1=-m{\omega }_0+{\omega }_0\sqrt{m^2-1}\\ p_2=-m{\omega }_0-{\omega }_0\sqrt{m^2-1}\end{array}$$

Mathématiquement, les deux pôles possèdent les propriétés suivantes:

• le produit des deux pôles est égal à $p_1{p}_2=m^2{\omega }_0^2-{\omega }_0^2(m^2-1)={\omega }_0^2$
• la somme des deux pôles est égale à $p_1+p_2=-2m{\omega }_0$.

En utilisant ces 2 propriétés, il est possible d'identifier le coefficient d'amortissement et la pulsation propre via les relations :

$$\begin{array}{rl}{\omega }_0& =\sqrt{p_1{p}_2}\\ m& =-\frac{p_1+p_2}{2{\omega }_0}\end{array}$$

Géométriquement, les deux pôles sont placés sur un cercle de centre $-m{\omega }_0$ et de rayon ${\omega }_0\sqrt{m^2-1}$.

Cas où m=1

Lorsque $m=1$, le système possède un pôle réel double. Le pôle réel double s'exprime sous la forme

$$p_1=p_2=-m{\omega }_0$$

Cas où m<1

Lorsque $m<1$, le système possède une paire de pôles complexes-conjugués. Les pôles s'expriment sous la forme

$$\begin{array}{r}{p}_1=-m{\omega }_0+j{\omega }_0\sqrt{1-m^2}\\ p_2=-m{\omega }_0-j{\omega }_0\sqrt{1-m^2}\end{array}$$

Mathématiquement, il est possible de démontrer que :

• le module de chaque pôle est égal à $|p_1|=|p_2|=\sqrt{(m{\omega }_0{)}^2+{\omega }_0^2(1-m^2)}={\omega }_0$.
• l'angle formé entre le pôle $p_1$ et l'axe des réels est donné par $\cos (\theta )=-\text{Re}(p_1)/|p_1|=m$

En utilisant ces 2 propriétés, il est possible d'identifier le coefficient d'amortissement et la pulsation propre via les relations :

$$\begin{array}{rl}{\omega }_0& =\sqrt{p_1{p}_1^{\ast }}=|p_1|\\ m& =-\frac{\text{Re}(p_1)}{{\omega }_0}\end{array}$$

Réponse Temporelle

En utilisant l'équation différentielle, la réponse à une entrée quelconque s'exprime sous la forme :

$$y(t)=y_l(t)+y_p(t)$$

• $y_l(t)$: solution libre,
• $y_p(t)$: solution particulière.

Cas où m>1

La solution libre s'exprime sous la forme :

$$y_l(t)={\lambda }_1{e}^{-(m-\sqrt{m^2-1}){\omega }_{0}t}+{\lambda }_2{e}^{-(m+\sqrt{m^2-1}){\omega }_{0}t}$$

Nous constatons que la solution libre est donnée par la contribution de deux systèmes de premier ordre ayant pour constantes de temps respectives:

$${\tau }_{1,2}=-\frac{1}{p_{1,2}}=\frac{1}{{\omega }_0(m\pm \sqrt{m^2-1})}$$

Cas où m<1

La solution libre s'exprime sous la forme d'une sinusoïde amortie:

$$y_l(t)=\alpha e^{-m{\omega }_{0}t}\cos ({\omega }_0\sqrt{1-m^2}t+\phi )$$

• $-m{\omega }_0$ régit la vitesse de décroissance de l'enveloppe,
• ${\omega }_0\sqrt{1-m^2}$ correspond à la pseudo-pulsation des oscillations [rad/s]

Démonstration

Lorsque $m<1$, comme la solution libre est réelle, cette solution s'exprime nécessairement sous la forme

$$y_l(t)={\lambda }_1{e}^{p_{1}t}+{\lambda }_2{e}^{p_{2}t}={\lambda }_1{e}^{p_{1}t}+{\lambda }_1^{\ast }{e}^{p_1^{\ast }t}$$

où ${\lambda }_1$ est un complexe. Comme cette solution est composée d'un complexe et de son complexe conjugué, il en vient que :

$$y_l(t)=2\text{Re}\left({\lambda }_1{e}^{p_{1}t}\right)$$

Cette expression peut également se simplifier en utilisant la décomposition sous forme polaire de la constante d'intégration et la décomposition sous forme algébrique de $p_1$. En effet, nous trouvons :

$$\begin{array}{rl}{y}_l(t)& =2\text{Re}(|{\lambda }_1|e^{j\arg [{\lambda }_1]}{e}^{(\text{Re}(p_1)+j\text{Im}(p_1))t})\\ & =2|{\lambda }_1|e^{\text{Re}(p_1)t}\text{Re}\left(e^{j(\text{Im}(p_1)t+\arg [{\lambda }_1])}\right)\\ & =2|{\lambda }_1|e^{\text{Re}(p_1)t}\cos (\text{Im}(p_1)t+\arg [{\lambda }_1])\end{array}$$

En utilisant l'expression de $p_1$ et en posant $\alpha =2|{\lambda }_1|$ et $\phi =\arg [{\lambda }_1]$, nous obtenons finalement :

$$y_l(t)=\alpha e^{-m{\omega }_{0}t}\cos ({\omega }_0\sqrt{1-m^2}t+\phi )$$

Propriétés

• Oscillations : pseudo-pulsation et pseudo-période.

$$\begin{array}{rl}{\omega }_p& ={\omega }_0\sqrt{1-m^2}\\ T_p& =\frac{2\pi }{{\omega }_0\sqrt{1-m^2}}\end{array}$$

• Ratio des amplitudes après une oscillation :

$$R=\frac{y_l(t_1)}{y_l(t_1+T_p)}=e^{\frac{2\pi m}{\sqrt{1-m^2}}}>1$$

Lorsque $m\ll 1$, ${\omega }_p\approx {\omega }_0$ et $R\approx e^{2\pi m}$. En utilisant la formule approchée, le coefficient d'amortissement peut être estimé par :

$$m\approx \frac{\ln R}{2\pi }$$

Exemple: Réponse Indicielle

La réponse indicielle correspond à la réponse du système lorsque l'entrée est un échelon d'amplitude $E$, c-à-d :

$$x(t)=\{\begin{array}{cc}E& \text{si }t\ge 0\\ 0& \text{ailleurs}\end{array}$$

L'expression de la sortie peut s'obtenir en utilisant l'équation différentielle ou la transformée de Laplace inverse. Spécifiquement, il est possible d'établir que la transformée de Laplace de la sortie est égale à $Y(s)=H(s)\frac{E}{s}$. Dans le domaine temporel, la sortie s'obtient en utilisant une transformée de Laplace inverse. L'expression exacte de $y(t)$ nécessite alors à la fois une décomposition en éléments simples et l'utilisation des tables des transformées de Laplace.

Valeurs limites en $0^{+}$ et $\mathrm{\infty }$

Concernant les valeurs aux limites, il est possible d'obtenir rapidement le comportement en $t\to \mathrm{\infty }$ (valeur finale) et à la discontinuité c-à-d $t=0^{+}$ (post-condition initiale) en utilisant les théorèmes de la valeur finale et initiale.

• Valeur finale: La valeur finale est donnée par

$$y(\mathrm{\infty })=\underset{s\to 0}{lim}sY(s)=H(0)E$$

• Post-conditions initiales. Pour les post-conditions initiales, nous nous intéressons à la fois à la valeur de $y(t)$ et sa dérivée $\frac{dy(t)}{dt}$ en $t=0^{+}$.

  • Concernant $y(t)$, nous obtenons :

    $$y(0^{+})=\underset{s\to \mathrm{\infty }}{lim}sY(s)=H(\mathrm{\infty })E$$

  • Concernant la dérivée de $y(t)$, nous obtenons

    $$\dot{y}(0^{+})={\frac{dy(t)}{dt}|}_{0^{+}}=\underset{s\to \mathrm{\infty }}{lim}{s}^{2}Y(s)=\underset{s\to \mathrm{\infty }}{lim}sH(s)E$$

Cas du passe-haut

Dans le cas du passe-haut, la valeur de la limite de $sH(s)E$ ne converge pas car la fonction de transfert est une fraction rationnelle impropre. Dans ce cas, il est nécessaire de décomposer la fonction de transfert sous la forme $H(s)=H_{\mathrm{\infty }}+H_1(s)$ où $H_{\mathrm{\infty }}$ est un gain et $H_1(s)$ est une fonction rationnelle propre. En utilisant cette décomposition et le fait que $H_{\mathrm{\infty }}$ n'impacte pas la valeur de $\dot{y}(0^{+})$ (terme associé à une impulsion de Dirac), il en vient que

$$\dot{y}(0^{+})=\underset{s\to \mathrm{\infty }}{lim}s{H}_1(s)E$$

Cette limite converge vers une valeur finie.

Réponse Fréquentielle

La réponse fréquentielle du système s'obtient en posant $s=j\omega$. En utilisant la forme générale d'un second ordre, nous obtenons :

$$H(j\omega )=\frac{N(j\omega )}{1-\frac{{\omega }^2}{{\omega }_0^2}+2jm\frac{\omega }{{\omega }_0}}$$

• Expression à la pulsation propre. À la pulsation propre $\omega ={\omega }_0$ [rad/s], la réponse fréquentielle s'exprime simplement sous la forme :

$$H(j{\omega }_0)=\frac{N(j{\omega }_0)}{2jm}$$

Expression du module

En introduisant la pulsation normalisée $\mathrm{\Omega }=\frac{\omega }{{\omega }_0}$, le module s'exprime sous la forme générale suivante :

$$|H(j\mathrm{\Omega })|=\frac{|N(j\mathrm{\Omega })|}{\sqrt{D(\mathrm{\Omega })}}=|N(j\mathrm{\Omega })|D^{-\frac{1}{2}}(\mathrm{\Omega })$$

où $D(\mathrm{\Omega })={(1-{\mathrm{\Omega }}^2)}^2+4m^2{\mathrm{\Omega }}^2$. En fonction de l'expression du numérateur et de la valeur de $m$, ce module peut présenter un extremum à la pulsation normalisée ${\mathrm{\Omega }}_r={\omega }_r/{\omega }_0$. Si cet extremum existe, la pulsation ${\mathrm{\Omega }}_r$ s'obtient en annulant la dérivée du module. Lorsque l'extremum correspond à un maximum, la pulsation ${\mathrm{\Omega }}_r$ est appelée pulsation de résonance normalisée.

Extremum du module

L'extremum du module s'obtient en annulant la dérivée de $|H(j\mathrm{\Omega })|$ par rapport à $\mathrm{\Omega }$. La condition d'annulation de la dérivée s'exprime sous la forme :

$$\frac{d|N(j\mathrm{\Omega })|}{d\mathrm{\Omega }}D(\mathrm{\Omega })-\frac{|N(j\mathrm{\Omega })|}{2}\frac{dD(\mathrm{\Omega })}{d\mathrm{\Omega }}=0$$

où $D(\mathrm{\Omega })$ et sa dérivée sont respectivement données par :

$$\begin{array}{rl}D(\mathrm{\Omega })& ={(1-{\mathrm{\Omega }}^2)}^2+4m^2{\mathrm{\Omega }}^2\\ \frac{dD(\mathrm{\Omega })}{d\mathrm{\Omega }}& =4\mathrm{\Omega }({\mathrm{\Omega }}^2+2m^2-1)\end{array}$$

L'expression de la pulsation de résonance ${\mathrm{\Omega }}_r$ dépend de la forme du numérateur $N(j\mathrm{\Omega })$. Les résultats spécifiques sont détaillés dans les sections dédiées à chaque type de filtre.

Démonstration

En dérivant $|H(j\mathrm{\Omega })|=|N(j\mathrm{\Omega })|D^{-\frac{1}{2}}(\mathrm{\Omega })$ par rapport à $\mathrm{\Omega }$ et en utilisant la règle du produit, nous obtenons :

$$\frac{d|H(j\mathrm{\Omega })|}{d\mathrm{\Omega }}=\frac{d|N(j\mathrm{\Omega })|}{d\mathrm{\Omega }}{D}^{-\frac{1}{2}}(\mathrm{\Omega })-\frac{|N(j\mathrm{\Omega })|}{2}{D}^{-\frac{3}{2}}(\mathrm{\Omega })\frac{dD(\mathrm{\Omega })}{d\mathrm{\Omega }}$$

Cette dérivée s'annule lorsque :

$$\frac{d|N(j\mathrm{\Omega })|}{d\mathrm{\Omega }}{D}^{-\frac{1}{2}}(\mathrm{\Omega })=\frac{|N(j\mathrm{\Omega })|}{2}{D}^{-\frac{3}{2}}(\mathrm{\Omega })\frac{dD(\mathrm{\Omega })}{d\mathrm{\Omega }}$$

En multipliant par $D^{\frac{3}{2}}(\mathrm{\Omega })$ :

$$\frac{d|N(j\mathrm{\Omega })|}{d\mathrm{\Omega }}D(\mathrm{\Omega })=\frac{|N(j\mathrm{\Omega })|}{2}\frac{dD(\mathrm{\Omega })}{d\mathrm{\Omega }}$$

Concernant la dérivée de $D(\mathrm{\Omega })$, nous obtenons :

$$\frac{dD(\mathrm{\Omega })}{d\mathrm{\Omega }}=2(1-{\mathrm{\Omega }}^2)(-2\mathrm{\Omega })+8m^2\mathrm{\Omega }=4\mathrm{\Omega }({\mathrm{\Omega }}^2+2m^2-1)$$

Expression de l'argument

Pour éviter les changements de cadrants liés à l'utilisation de la fonction arctangente, une pré-étape consiste à décomposer la fonction de transfert sous une forme plus simple à manipuler. Spécifiquement, une approche possible consiste à normaliser la partie réelle au dénominateur à 1 pour éviter les indéterminations de phase de la fonction arctangente. En utilisant cette normalisation, nous obtenons :

$$\arg [H(j\omega )]=\arg [N(j\omega )]-\arctan \left(\frac{1}{2m}(\mathrm{\Omega }-{\mathrm{\Omega }}^{-1})\right)$$

où $\mathrm{\Omega }=\frac{\omega }{{\omega }_0}$ correspond à la pulsation normalisée.

Démonstration

En décomposant la fonction de transfert sous la forme suivante :

$$H(j\omega )=N(j\omega )\times \frac{1}{1+\frac{j}{2m}(\frac{\omega }{{\omega }_0}-\frac{{\omega }_0}{\omega })}\times \frac{1}{2jm\frac{\omega }{{\omega }_0}}$$

Le deuxième terme possède un dénominateur avec une partie réelle positive (pas de changement de cadrant). Nous obtenons alors

$$\arg [H(j\omega )]=\arg [N(j\omega )]-\arg \left(\frac{1}{2m}(\frac{\omega }{{\omega }_0}-\frac{{\omega }_0}{\omega })\right)-\frac{\pi }{2}$$

Applications

Passe-bas (LP2)

$$H(s)=\frac{T_0}{\frac{1}{{\omega }_0^2}{s}^2+\frac{2m}{{\omega }_0}s+1}$$

• gain statique: $T_0$,
• pulsation propre: ${\omega }_0$ (rad/s),
• coefficient d'amortissement: $m$.

Réponse Indicielle

Expression

• Lorsque $m>1$, la réponse indicielle s'exprime sous la forme :

$$y(t)=T_{0}E(1-\frac{m+\sqrt{m^2-1}}{2\sqrt{m^2-1}}{e}^{-t/{\tau }_1}-\frac{m-\sqrt{m^2-1}}{2\sqrt{m^2-1}}{e}^{-t/{\tau }_2})u(t)$$

où ${\tau }_1=-1/p_1$ et ${\tau }_2=-1/p_2$ avec ${\tau }_1<{\tau }_2$.

• Lorsque $m<1$, la réponse indicielle s'exprime sous la forme :

$$y(t)=T_{0}E(1-\frac{e^{-m{\omega }_{0}t}}{\sqrt{1-m^2}}\cos ({\omega }_0\sqrt{1-m^2}t-\arctan \left(\frac{m}{\sqrt{1-m^2}}\right)))u(t)$$

Valeurs Limites

• Post-conditions initiales: $y(0^{+})=0$ et ${\frac{dy(t)}{dt}|}_{t=0^{+}}=0$.
• Valeur finale: $y(\mathrm{\infty })=T_{0}E$

Dépassement (si $m<1$)

Lorsque $m<1$, il est possible d'établir que la réponse indicielle présente des extrema en $t_k=\frac{k\pi }{{\omega }_0\sqrt{1-m^2}}$.

Démonstration

Pour obtenir la position des extrema lorsque $m<1$, il faut dériver l'expression de la réponse indicielle. Pour $t\ge 0$, nous trouvons :

$$\frac{dy(t)}{dt}=\frac{{\omega }_0}{\sqrt{1-m^2}}{e}^{-m{\omega }_{0}t}\sin ({\omega }_0\sqrt{1-m^2}t)$$

Cette dérivée s'annule lorsque ${\omega }_0\sqrt{1-m^2}t=k\pi$ avec $k\in {\mathbb{R}}^{+}$. Il en vient que :

$${\frac{dy(t)}{dt}|}_{t=t_k}=0\Rightarrow t_k=\frac{k\pi }{{\omega }_0\sqrt{1-m^2}}$$

Il est important de pouvoir quantifier la valeur maximale de la réponse indicielle. En pratique, nous utilisons le plus souvent le premier dépassement relatif qui est une grandeur indépendante de $E$, $T_0$ et de ${\omega }_0$. Cette grandeur s'exprime sous la forme

$$D_r(\mathrm{\%})=100\left|\frac{max(y(t))-y(\mathrm{\infty })}{y(\mathrm{\infty })}\right|=100e^{-\frac{\pi m}{\sqrt{1-m^2}}}$$

La valeur du premier dépassement peut s'obtenir rapidement en utilisant une abaque présentant $D_r(\mathrm{\%})=f(m)$ (voir abaque).

Temps de réponse

Dans certaines applications, il est nécessaire de quantifier la rapidité du système au moyen du temps de réponse à $\pm 5\mathrm{\%}$. Le temps de réponse $t_r$ est défini formellement comme le temps nécessaire pour atteindre définitivement $\pm 5\mathrm{\%}$ de la valeur finale $y(\mathrm{\infty })$. Mathématiquement, $t_r$ peut être défini de la manière suivante :

$$t_r=inf\{t\ge 0\mid \mathrm{\forall }\tau \ge t,|y(\tau )-y(\mathrm{\infty })|\le 0.05|y(\mathrm{\infty })|\}$$

Il est possible de démontrer que ce temps de réponse dépend uniquement de la pulsation propre ${\omega }_0$ et du coefficient d'amortissement $m$. Comme cette dépendance est complexe, la valeur du temps de réponse s'obtient généralement en utilisant une abaque présentant ${\omega }_0{t}_r=g(m)$ (voir abaque).

Comportement Fréquentiel

Point singulier et comportements asymptotiques

• Asymptote basse-fréquences: $H_{BF}(j\omega )=T_0$,
• Asymptote haute-fréquences: $H_{HF}(j\omega )=-T_0{\left(\frac{\omega }{{\omega }_0}\right)}^{-2}$,
• Valeur à la pulsation propre: $H(j{\omega }_0)=\frac{T_0}{2jm}$

Phénomène de résonance

Si $m<\frac{1}{\sqrt{2}}\approx 0.707$, la dérivée du module s'annule à la pulsation de résonance :

$${\omega }_r={\omega }_0\sqrt{1-2m^2}<{\omega }_0$$

À la pulsation de résonance, le module est égal à

$$|H(j{\omega }_r)|=\frac{T_0}{2m\sqrt{1-m^2}}>|H(j{\omega }_0)|$$

Démonstration

Pour le passe-bas, le numérateur est constant : $|N(j\mathrm{\Omega })|=T_0$. La dérivée du numérateur est donc nulle : $\frac{d|N(j\mathrm{\Omega })|}{d\mathrm{\Omega }}=0$.

En utilisant la condition générale d'extremum du module :

$$\frac{d|N(j\mathrm{\Omega })|}{d\mathrm{\Omega }}D(\mathrm{\Omega })-\frac{|N(j\mathrm{\Omega })|}{2}\frac{dD(\mathrm{\Omega })}{d\mathrm{\Omega }}=0$$

nous obtenons :

$$-\frac{T_0}{2}\frac{dD(\mathrm{\Omega })}{d\mathrm{\Omega }}=0\Rightarrow \frac{dD(\mathrm{\Omega })}{d\mathrm{\Omega }}=0$$

En utilisant l'expression de la dérivée $\frac{dD(\mathrm{\Omega })}{d\mathrm{\Omega }}=4\mathrm{\Omega }({\mathrm{\Omega }}^2+2m^2-1)$, cette condition impose :

$$\mathrm{\Omega }=0\text{ou}{\mathrm{\Omega }}^2=1-2m^2$$

En écartant la solution triviale $\mathrm{\Omega }=0$, la pulsation de résonance normalisée est ${\mathrm{\Omega }}_r=\sqrt{1-2m^2}$, qui n'existe que si $m<\frac{1}{\sqrt{2}}$. En revenant à la pulsation non normalisée :

$${\omega }_r={\omega }_0{\mathrm{\Omega }}_r={\omega }_0\sqrt{1-2m^2}$$

Tableau Récapitulatif

Propriété	Condition	Expression
Réponse indicielle
$y(t){\mid }_{t\to 0^{+}}$		$0$
$\dot{y}(t){\mid }_{t\to 0^{+}}$		$0$
$y(t){\mid }_{t\to \mathrm{\infty }}$		$T_{0}E$
Pseudo-pulsation	$m<1$	${\omega }_p={\omega }_0\sqrt{1-m^2}$
Comportement fréquentiel
$H(j\omega ){\mid }_{\omega \to 0}$		$T_0$
$H(j{\omega }_0)$		$\frac{T_0}{2jm}$
$H(j\omega ){\mid }_{\omega \to \mathrm{\infty }}$		$0$
Résonance	$m<\frac{1}{\sqrt{2}}$	${\omega }_r={\omega }_0\sqrt{1-2m^2}$

Passe-bande (BP2)

$$H(s)=\frac{\frac{2m{T}_m}{{\omega }_0}s}{\frac{1}{{\omega }_0^2}{s}^2+\frac{2m}{{\omega }_0}s+1}$$

• gain maximum: $T_m$,
• pulsation propre: ${\omega }_0$ (rad/s),
• coefficient d'amortissement: $m$.

Réponse Indicielle

Valeurs Limites

• Post-conditions initiales: $y(0^{+})=0$ et ${\frac{dy(t)}{dt}|}_{t=0^{+}}=2m{\omega }_0{T}_{m}E$.
• Valeur finale: $y(\mathrm{\infty })=0$

Comportement Fréquentiel

Point singulier et comportements asymptotiques

• Asymptote basse-fréquences: $H_{BF}(j\omega )=2jm{T}_m\left(\frac{\omega }{{\omega }_0}\right)$,
• Asymptote haute-fréquences: $H_{HF}(j\omega )=-2jm{T}_m{\left(\frac{\omega }{{\omega }_0}\right)}^{-1}$,
• Intersection des asymptotes de module en $\omega ={\omega }_0$: $|T_i|=2m|T_m|$
• Valeur à la pulsation propre: $H(j{\omega }_0)=T_m$

Pulsation de coupure à -3dB et bande passante

• Pulsation de coupure. Le filtre passe-bande possède deux pulsations de coupure à $-3dB$ ($|H(j{\omega }_c)|=\frac{|T_m|}{\sqrt{2}}$). Ces pulsations s'expriment sous la forme :

$$\begin{array}{rl}{\omega }_{c1}& ={\omega }_0(-m+\sqrt{m^2+1})\\ {\omega }_{c2}& ={\omega }_0(m+\sqrt{m^2+1})\end{array}$$

• Bande passante à $-3$ dB. La bande passante à $-3$dB s'exprime sous la forme :

$$\mathrm{\Delta }\omega ={\omega }_{c2}-{\omega }_{c1}=2m{\omega }_0$$

Tableau Récapitulatif

Propriété	Condition	Expression
Réponse indicielle
$y(t){\mid }_{t\to 0^{+}}$		$0$
$\dot{y}(t){\mid }_{t\to 0^{+}}$		$2m{\omega }_0{T}_{m}E$
$y(t){\mid }_{t\to \mathrm{\infty }}$		$0$
Pseudo-pulsation	$m<1$	${\omega }_p={\omega }_0\sqrt{1-m^2}$
Comportement fréquentiel
$H(j\omega ){\mid }_{\omega \to 0}$		$0$
$H(j{\omega }_0)$		$T_m$
$H(j\omega ){\mid }_{\omega \to \mathrm{\infty }}$		$0$
Bande passante		$\mathrm{\Delta }\omega =2m{\omega }_0$

Passe-haut (HP2)

$$H(s)=\frac{\frac{T_{\mathrm{\infty }}}{{\omega }_0^2}{s}^2}{\frac{1}{{\omega }_0^2}{s}^2+\frac{2m}{{\omega }_0}s+1}$$

• gain haute-fréquence: $T_{\mathrm{\infty }}$,
• pulsation propre: ${\omega }_0$ (rad/s),
• coefficient d'amortissement: $m$.

Réponse Indicielle

Valeurs Limites

• Post-conditions initiales: $y(0^{+})=T_{\mathrm{\infty }}E$ et ${\frac{dy(t)}{dt}|}_{t=0^{+}}=-2m{\omega }_0{T}_{\mathrm{\infty }}E$.
• Valeur finale: $y(\mathrm{\infty })=0$

Comportement Fréquentiel

Point singulier et comportements asymptotiques

• Asymptote basse-fréquences: $H_{BF}(j\omega )=-T_{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{\omega }{{\omega }_0}\right)}^2$,
• Asymptote haute-fréquences: $H_{HF}(j\omega )=T_{\mathrm{\infty }}$,
• Valeur à la pulsation propre: $H(j{\omega }_0)=j\frac{T_{\mathrm{\infty }}}{2m}$

Phénomène de résonance

Si $m<\frac{1}{\sqrt{2}}\approx 0.707$, la dérivée du module s'annule à la pulsation de résonance :

$${\omega }_r=\frac{{\omega }_0}{\sqrt{1-2m^2}}>{\omega }_0$$

À la pulsation de résonance, le module est égal à

$$|H(j{\omega }_r)|=\frac{T_{\mathrm{\infty }}}{2m\sqrt{1-m^2}}>|H(j{\omega }_0)|$$

Démonstration

Pour le passe-haut, le numérateur est $|N(j\mathrm{\Omega })|=T_{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\Omega }}^2$. Sa dérivée est donc : $\frac{d|N(j\mathrm{\Omega })|}{d\mathrm{\Omega }}=2T_{\mathrm{\infty }}\mathrm{\Omega }$.

En utilisant la condition générale d'extremum du module :

$$\frac{d|N(j\mathrm{\Omega })|}{d\mathrm{\Omega }}D(\mathrm{\Omega })-\frac{|N(j\mathrm{\Omega })|}{2}\frac{dD(\mathrm{\Omega })}{d\mathrm{\Omega }}=0$$

nous obtenons :

$$2T_{\mathrm{\infty }}\mathrm{\Omega }\cdot D(\mathrm{\Omega })-\frac{T_{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\Omega }}^2}{2}\cdot 4\mathrm{\Omega }({\mathrm{\Omega }}^2+2m^2-1)=0$$

En divisant par $2T_{\mathrm{\infty }}\mathrm{\Omega }$ (pour $\mathrm{\Omega }\ne 0$) :

$$D(\mathrm{\Omega })={\mathrm{\Omega }}^2({\mathrm{\Omega }}^2+2m^2-1)$$

En remplaçant $D(\mathrm{\Omega })=(1-{\mathrm{\Omega }}^2{)}^2+4m^2{\mathrm{\Omega }}^2$ et en développant :

$$1-2{\mathrm{\Omega }}^2+{\mathrm{\Omega }}^4+4m^2{\mathrm{\Omega }}^2={\mathrm{\Omega }}^4+2m^2{\mathrm{\Omega }}^2-{\mathrm{\Omega }}^2$$

Après simplification :

$$1={\mathrm{\Omega }}^2(1-2m^2)\Rightarrow {\mathrm{\Omega }}_r=\frac{1}{\sqrt{1-2m^2}}$$

Cette solution n'existe que si $m<\frac{1}{\sqrt{2}}$. En revenant à la pulsation non normalisée :

$${\omega }_r={\omega }_0{\mathrm{\Omega }}_r=\frac{{\omega }_0}{\sqrt{1-2m^2}}$$

Tableau Récapitulatif

Propriété	Condition	Expression
Réponse indicielle
$y(t){\mid }_{t\to 0^{+}}$		$T_{\mathrm{\infty }}E$
$\dot{y}(t){\mid }_{t\to 0^{+}}$		$-2m{\omega }_0{T}_{\mathrm{\infty }}E$
$y(t){\mid }_{t\to \mathrm{\infty }}$		$0$
Pseudo-pulsation	$m<1$	${\omega }_p={\omega }_0\sqrt{1-m^2}$
Comportement fréquentiel
$H(j\omega ){\mid }_{\omega \to 0}$		$0$
$H(j{\omega }_0)$		$\frac{T_{\mathrm{\infty }}}{2jm}$
$H(j\omega ){\mid }_{\omega \to \mathrm{\infty }}$		$T_{\mathrm{\infty }}$
Résonance	$m<\frac{1}{\sqrt{2}}$	${\omega }_r=\frac{{\omega }_0}{\sqrt{1-2m^2}}$

Réjecteur (BR2)

$$H(s)=\frac{T_0(\frac{1}{{\omega }_0^2}{s}^2+1)}{\frac{1}{{\omega }_0^2}{s}^2+\frac{2m}{{\omega }_0}s+1}$$

• gain maximum: $T_0$,
• pulsation propre: ${\omega }_0$ (rad/s),
• coefficient d'amortissement: $m$.

Réponse Indicielle

Valeurs Limites

• Post-conditions initiales: $y(0^{+})=T_{0}E$ et ${\frac{dy(t)}{dt}|}_{t=0^{+}}=-2m{\omega }_0{T}_{0}E$.
• Valeur finale: $y(\mathrm{\infty })=T_{0}E$

Comportement Fréquentiel

Point singulier et comportements asymptotiques

• Asymptote basse-fréquences: $H_{BF}(j\omega )=T_0$,
• Asymptote haute-fréquences: $H_{HF}(j\omega )=T_0$,
• Valeur à la pulsation propre: $H(j{\omega }_0)=0$

Pulsation de coupure à -3dB et bande rejetée

• Pulsation de coupure. Le filtre réjecteur possède deux pulsations de coupure à $-3dB$ ($|H(j{\omega }_c)|=\frac{|T_0|}{\sqrt{2}}$). Ces pulsations s'expriment sous la forme :

$$\begin{array}{rl}{\omega }_{c1}& ={\omega }_0(-m+\sqrt{m^2+1})\\ {\omega }_{c2}& ={\omega }_0(m+\sqrt{m^2+1})\end{array}$$

• Bande rejetée à $-3$ dB. La bande rejetée à $-3$dB s'exprime sous la forme :

$$\mathrm{\Delta }\omega ={\omega }_{c2}-{\omega }_{c1}=2m{\omega }_0$$

Tableau Récapitulatif

Propriété	Condition	Expression
Réponse indicielle
$y(t){\mid }_{t\to 0^{+}}$		$T_{0}E$
$\dot{y}(t){\mid }_{t\to 0^{+}}$		$-2m{\omega }_0{T}_{0}E$
$y(t){\mid }_{t\to \mathrm{\infty }}$		$T_{0}E$
Pseudo-pulsation	$m<1$	${\omega }_p={\omega }_0\sqrt{1-m^2}$
Comportement fréquentiel
$H(j\omega ){\mid }_{\omega \to 0}$		$T_0$
$H(j{\omega }_0)$		$0$
$H(j\omega ){\mid }_{\omega \to \mathrm{\infty }}$		$T_0$
Bande rejetée		$\mathrm{\Delta }\omega =2m{\omega }_0$