Systèmes de Premier Ordre

Modélisation

Équation différentielle

L'équation différentielle d'un système de premier ordre peut s'exprimer sous la forme suivante :

$$\tau \frac{dy(t)}{dt}+y(t)=b_1\frac{dx(t)}{dt}+b_{0}x(t)$$

• $\tau$ désigne la constante de temps [s].

Fonction de transfert

La fonction de transfert d'un système de premier ordre peut s'exprimer sous la forme normalisée suivante :

$$H(s)=\frac{N(s)}{\tau s+1}$$

• $N(s)$ désigne le numérateur de la fonction de transfert (polynôme de degré inférieur ou égal à 1).

Expression du pôle

Un système de premier ordre possède un unique pôle. Ce pôle s'obtient en cherchant l'unique racine du dénominateur de la fonction de transfert.

$$\tau s+1=0\Rightarrow p=-\frac{1}{\tau }$$

Exemples

Filtre Passe-Bas (LP1)

Circuit : Résistance $R$ en série avec condensateur $C$. Sortie aux bornes de $C$.

$$H_{LP}(s)=\frac{T_0}{\tau s+1}$$

avec $\tau =RC$ et $T_0=1$.

Filtre Passe-Haut (HP1)

Circuit : Condensateur $C$ en série avec résistance $R$. Sortie aux bornes de $R$.

$$H_{HP}(s)=\frac{T_{\mathrm{\infty }}\tau s}{\tau s+1}$$

avec $\tau =RC$ et $T_{\mathrm{\infty }}=1$.

Réponse Temporelle

La solution complète de l'équation différentielle s'exprime sous la forme :

$$y(t)=y_l(t)+y_p(t)$$

• $y_l(t)$: solution libre (régime libre)

$$y_l(t)=\lambda e^{-\frac{1}{\tau }t}$$

• $y_p(t)$: solution particulière (régime forcé). L'expression du régime forcé dépend de l'allure de l'entrée et des coefficients $b_0$ et $b_1$

Exemple : Réponse indicielle d'un passe-bas

Considérons la réponse d'un système de premier ordre à un échelon d'amplitude $E$, c-à-d $x(t)=Eu(t)$. Le système est supposé initialement au repos, c'est-à-dire avec des pré-conditions initiales nulles ($y(0^{-})=0$). Comme l'entrée est un échelon, le régime forcé est de la forme $y_p(t)=\alpha u(t)$. En remplaçant cette expression dans l'équation différentielle pour $t\ge 0$, nous obtenons $y_p(t)=T_{0}E$. Il en vient que :

$$y(t)=\lambda e^{-\frac{1}{\tau }t}+T_{0}E$$

La constante d'intégration s'obtient en déterminant une post-condition initiale. En intégrant l'équation différentielle entre $t=0^{-}$ et $t=0^{+}$, nous obtenons $y(0^{+})=0$. En exploitant cette équation, il en vient que :

$$y(0^{+})=\lambda \times 1+T_{0}E=0\Rightarrow \lambda =-T_{0}E,$$

Pour un filtre passe-bas de premier ordre, la réponse du système à un échelon d'amplitude $E$ s'exprime finalement sous la forme :

$$y(t)=T_{0}E(1-e^{-\frac{t}{\tau }})$$

Réponse Indicielle d'un filtre passe-bas de premier ordre

Valeurs Remarquables

• Post-condition initiale : $y(0^{+})=0$,
• Valeur finale : $y(\mathrm{\infty })=T_{0}E$,
• Valeur maximale: $max(y(t))=T_{0}E$,
• Temps de réponse à $\pm 5\mathrm{\%}$: $t_r=3\tau$.

Réponse Fréquentielle

La réponse fréquentielle s'obtient en posant $s=j\omega$ dans l'expression de la fonction de transfert. Nous obtenons :

$$H(j\omega )=\frac{N(j\omega )}{j\frac{\omega }{{\omega }_c}+1}$$

• ${\omega }_c=\frac{1}{\tau }$ désigne la pulsation de coupure à -3dB [rad/s].

Passe-Bas

Réponse Fréquentielle d'un filtre passe-bas de premier ordre

• Module :

$$|H(j\omega )|=\frac{T_0}{\sqrt{{\left(\frac{\omega }{{\omega }_c}\right)}^2+1}}$$

• Argument :

$$\arg [H(j\omega )]=-\arctan \left(\frac{\omega }{{\omega }_c}\right)$$

Passe-Haut

Réponse Fréquentielle d'un filtre passe-haut de premier ordre

• Module :

$$|H(j\omega )|=\frac{T_{\mathrm{\infty }}\frac{\omega }{{\omega }_c}}{\sqrt{{\left(\frac{\omega }{{\omega }_c}\right)}^2+1}}$$

• Argument :

$$\arg [H(j\omega )]={90}^o-\arctan \left(\frac{\omega }{{\omega }_c}\right)$$