Analyse d'un Circuit de Premier Ordre

Dans ce tutorial, nous allons réaliser une analyse complète d'un circuit de premier ordre (RC_LP). Le circuit considéré est le suivant :

Analyse Théorique

Fonction de Transfert

La fonction de transfert du circuit s'obtient en utilisant le pont diviseur de tension. En notant $y(t)$ la sortie $V_{out}(t)$ et $x(t)$ l'entrée $V_{in}(t)$, nous obtenons dans le domaine de Laplace:

$$\begin{array}{rl}S(s)& =\frac{Z_c}{Z_c+Z_r}X(s)\\ & =\frac{\frac{1}{Cp}}{\frac{1}{Cp}+R}S(s)\\ & =\frac{1}{RCp+1}X(s)\end{array}$$

Nous en déduisons que la fonction de transfert du système est égal à

$$H(s)=\frac{S(s)}{X(s)}=\frac{1}{RCp+1}$$

Réponse Indicielle

Le système peut être décrit dans le domaine temporelle par l'équation suivante :

$$RC\frac{dy(t)}{dt}+y(t)=x(t)$$

Nous allons nous intéresser à la sortie lorsque l'entrée est un échelon d'amplitude E

$$\begin{array}{r}x(t)=\{\begin{array}{cc}E& \text{ si }t\ge 0\\ 0& \text{ ailleurs}\end{array}\end{array}$$

La sortie du système est supposée initialement nulle c-a-d $y(0^{-})=0$.

Expression de la solution complète

1. Détermination des racines de l'équation caractéristique :

$$RCp+1=0\Rightarrow p=-\frac{1}{RC}$$

2. Détermination du régime Libre :

$$y_l(t)=\lambda e^{-\frac{1}{RC}t}$$

3. Détermination du Régime Forcé : Lorsque l'entrée est un échelon d'amplitude E, le regime permanent s'exprime sous la forme $y_p(t)=\alpha u(t)$. La valeur de $\alpha$ s'obtient en injectant l'expression du regime permanent dans l'équation différentielle. Pour $t\ge 0$, nous obtenons :

$$y_p(t)=E$$

4. Détermination de la Solution Complète: Pour $t\ge 0$, nous obtenons finalement

$$y(t)=y_l(t)+y_p(t)=\lambda e^{-\frac{1}{RC}t}+E$$

5. Exploitation des conditions initiales. La détermination de la constante d'intégration peut s'obtenir en déterminant la valeur de $y(t)$ en $t=0^{+}$. Il est possible de démontrer que $y(0^{+})=0$, ce qui implique que :

$$y(0^{+})=\lambda \times 1+E=0\Rightarrow \lambda =-E$$

Pour $t\ge 0$, nous obtenons finalement l'expression suivante :

$$y(t)=E(1-e^{-\frac{1}{RC}t})$$

Valeurs Remarquables

• Valeur initiale: $y(0^{+})=0$,
• Valeur finale: $y(\mathrm{\infty })=E$,
• Valeur maximale: $max(y(t))=E$,
• Valeur en $t=\tau =RC$, $y(\tau )=0.63E$,
• Valeur en $t=3\tau =3RC$, $y(3\tau )=0.95E$.

Réponse Fréquentielle

Expression

La réponse fréquentielle s'obtient en évaluant la fonction de transfert en $s=j\omega$. Mathématiquement, nous obtenons :

$$H(j\omega )=\frac{1}{jRC\omega +1}$$

• Module :

$$|H(j\omega )|=\frac{1}{\sqrt{(RC\omega {)}^2+1}}$$

• Argument :

$$\arg [H(j\omega )]=-\arctan \left(RC\omega \right)$$

Valeurs Remarquables

• Basse-Fréquence : Lorsque $\omega \to 0$,

$$\begin{array}{rl}|H(j\omega )|& \approx 1,\\ \arg [H(j\omega )]& \approx 0.\end{array}$$

• Pulsation de coupure : Lorsque $\omega ={\omega }_c=\frac{1}{RC}$,

$$\begin{array}{rl}|H(j{\omega }_c)|& =\frac{1}{\sqrt{2}},\\ \arg [H(j{\omega }_c)]& =-{45}^o.\end{array}$$

• Asymptotes Haute-Fréquences :

$$\begin{array}{rl}\underset{\omega \to \mathrm{\infty }}{lim}|H(j\omega )|& ={\left(\frac{\omega }{{\omega }_c}\right)}^{-1},\\ \underset{\omega \to \mathrm{\infty }}{lim}\arg [H(j\omega )]& =-{90}^o.\end{array}$$

Simulation Python

Code

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.signal import lti

# Parametres du circuit RC
R = 10e3    # Resistance en Ohms (10 kOhm)
C = 10e-9   # Capacite en Farads (10 nF)

# Calcul de la constante de temps et pulsation de coupure
tau = R * C
wc = 1 / tau
print(f"Constante de temps: tau = {tau*1e6:.2f} us")
print(f"Pulsation de coupure: wc = {wc:.2f} rad/s")

# Creation de la fonction de transfert H(s) = 1 / (tau*s + 1)
num = [1]
den = [tau, 1]
H = lti(num, den)

# ===================
# Reponse Indicielle
# ===================
t, y = H.step()

plt.figure()
plt.plot(t, y)
plt.axhline(y=1, color='r', linestyle='--', label='Valeur finale')
plt.axhline(y=0.63, color='g', linestyle='--', label='63% (t = tau)')
plt.axvline(x=tau, color='g', linestyle=':', alpha=0.7)
plt.xlabel('Temps [s]')
plt.ylabel('Amplitude')
plt.title('Reponse indicielle du filtre RC')
plt.legend()
plt.grid()
plt.savefig('../img/02_fig1.png')

# ===================
# Diagramme de Bode
# ===================
w, Hjw = H.freqresp()
H_module = np.abs(Hjw)
H_phase = (180 / np.pi) * np.angle(Hjw)

fig, axs = plt.subplots(2, 1, figsize=(8, 6), sharex=True)
fig.suptitle('Diagramme de Bode - Filtre RC passe-bas')

# Module
axs[0].loglog(w, H_module)
axs[0].axvline(x=wc, color='r', linestyle='--', label=f'wc = {wc:.0f} rad/s')
axs[0].axhline(y=1/np.sqrt(2), color='g', linestyle=':', label='-3 dB')
axs[0].set_ylabel('Module $|H(j\\omega)|$')
axs[0].legend()
axs[0].grid(which='both')

# Phase
axs[1].semilogx(w, H_phase)
axs[1].axvline(x=wc, color='r', linestyle='--')
axs[1].axhline(y=-45, color='g', linestyle=':', label='-45 deg')
axs[1].set_xlabel('Pulsation $\\omega$ [rad/s]')
axs[1].set_ylabel('Phase [deg]')
axs[1].legend()
axs[1].grid(which='both')

plt.tight_layout()
plt.savefig('../img/02_fig2.png')
plt.show()

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