Projet 1: Détermination de Fonctions de Transfert

Objectifs

Ce projet vous permettra de mettre en pratique les concepts suivants:

• Application des impédances généralisées
• Utilisation des lois de Kirchhoff dans le domaine de Laplace
• Calcul de fonctions de transfert à partir de circuits
• Identification des paramètres caractéristiques (${\omega }_0$, $m$, type de filtre)

Consignes

Pour chaque exercice:

1. Démontrer que la fonction de transfert est égale à l'expression donnée
2. Identifier les paramètres caractéristiques ($\tau$, ${\omega }_0$, $m$, etc.)
3. Calculer les valeurs numériques avec les composants fournis

Partie 1: Circuits Passifs de Premier Ordre

Exercice 1.1: Filtre RC Passe-Bas

RC LP Filter

Données: $R=1k\mathrm{\Omega }$, $C=100nF$

Démontrez que la fonction de transfert est:

$$H(s)=\frac{1}{1+sRC}$$

Puis:

1. Identifier la constante de temps $\tau$
2. Calculer la pulsation de coupure ${\omega }_c$ (en rad/s et Hz)

Exercice 1.2: Filtre RC Passe-Haut

RC HP Filter

Données: $R=10k\mathrm{\Omega }$, $C=10nF$

Démontrez que la fonction de transfert est:

$$H(s)=\frac{sRC}{1+sRC}$$

Puis:

1. Identifier la constante de temps $\tau$
2. Calculer la pulsation de coupure ${\omega }_c$ (en rad/s et Hz)

Partie 2: Circuits Passifs de Second Ordre

Exercice 2.1: Filtre RLC Passe-Bas

RLC LP Filter

Données: $R=100\mathrm{\Omega }$, $L=10mH$, $C=100nF$

Démontrez que la fonction de transfert est:

$$H(s)=\frac{1}{1+RCs+LC{s}^2}$$

Puis:

1. Mettre sous forme normalisée: $H(s)=\frac{T_0}{\frac{1}{{\omega }_0^2}{s}^2+\frac{2m}{{\omega }_0}s+1}$
2. Identifier ${\omega }_0$, $m$ et $T_0$
3. Calculer les valeurs numériques
4. Le système est-il sous-amorti, critique ou sur-amorti?

Exercice 2.2: Filtre RLC Passe-Bande

RLC BP Filter

Données: $R=50\mathrm{\Omega }$, $L=5mH$, $C=200nF$

Démontrez que la fonction de transfert est:

$$H(s)=\frac{RCs}{1+RCs+LC{s}^2}$$

Puis:

1. Mettre sous forme normalisée de type passe-bande
2. Identifier ${\omega }_0$, $m$ et le gain à la résonance
3. Calculer les valeurs numériques
4. Calculer la bande passante à -3dB: $\mathrm{\Delta }\omega =2m{\omega }_0$

Exercice 2.3: Filtre RLC Passe-Haut

RLC HP Filter

Données: $R=200\mathrm{\Omega }$, $L=20mH$, $C=50nF$

Démontrez que la fonction de transfert est:

$$H(s)=\frac{LC{s}^2}{1+RCs+LC{s}^2}$$

Puis:

1. Mettre sous forme normalisée de type passe-haut
2. Identifier ${\omega }_0$, $m$ et $T_{\mathrm{\infty }}$
3. Calculer les valeurs numériques
4. Calculer la pulsation de résonance si elle existe ($m<0.7$)

Partie 3: Circuits Actifs (Sallen-Key)

Exercice 3.1: Sallen-Key Passe-Bas

SK LP Filter

Données: $R_1=R_2=10k\mathrm{\Omega }$, $C_1=C_2=10nF$, $R_3=10k\mathrm{\Omega }$, $R_4=10k\mathrm{\Omega }$

Démontrez que la fonction de transfert est:

$$H(s)=\frac{K}{1+((R_1+R_2)C_2-R_1{R}_4{C}_1/R_3)s+(R_1{R}_2{C}_1{C}_2)s^2}$$

où $K=1+R_4/R_3$

Puis:

1. Calculer le gain $K$
2. Mettre sous forme normalisée et identifier ${\omega }_0$ et $m$
3. Calculer les valeurs numériques

Exercice 3.2: Sallen-Key Passe-Haut

SK HP Filter

Données: $R_1=R_2=15k\mathrm{\Omega }$, $C_1=C_2=22nF$, $R_3=10k\mathrm{\Omega }$, $R_4=10k\mathrm{\Omega }$

Démontrez que la fonction de transfert est:

$$H(s)=\frac{K\cdot R_1{R}_2{C}_1{C}_2{s}^2}{1+(R_1(C_1+C_2)-R_2{R}_4{C}_2/R_3)s+(R_1{R}_2{C}_1{C}_2)s^2}$$

où $K=1+R_4/R_3$

Puis:

1. Calculer le gain $K$
2. Mettre sous forme normalisée et identifier ${\omega }_0$ et $m$
3. Calculer les valeurs numériques

Partie 4: Circuits Actifs (Rauch/MFB)

Exercice 4.1: Rauch Passe-Bas

Rauch LP Filter

Données: $R_1=20k\mathrm{\Omega }$, $R_2=10k\mathrm{\Omega }$, $R_3=5k\mathrm{\Omega }$, $C_1=C_2=47nF$

Démontrez que la fonction de transfert est:

$$H(s)=\frac{-R_2/R_1}{1+C_2(R_2+R_3+R_2{R}_3/R_1)s+(R_2{R}_3{C}_1{C}_2)s^2}$$

Note: Le signe négatif est dû à la configuration inverseuse de l'AOP.

Puis:

1. Identifier le gain statique $T_0=-R_2/R_1$
2. Mettre sous forme normalisée et identifier ${\omega }_0$ et $m$
3. Calculer les valeurs numériques

Exercice 4.2: Rauch Passe-Bande

Rauch BP Filter

Données: $R_1=10k\mathrm{\Omega }$, $R_2=20k\mathrm{\Omega }$, $R_3=10k\mathrm{\Omega }$, $C_1=100nF$, $C_2=10nF$

Démontrez que la fonction de transfert est:

$$H(s)=\frac{-C_1{R}_{2}s}{1+C_2(R_2+R_3+R_2{R}_3/R_1)s+(R_2{R}_3{C}_1{C}_2)s^2}$$

Puis:

1. Mettre sous forme normalisée passe-bande
2. Identifier ${\omega }_0$, $m$ et le gain maximum
3. Calculer les valeurs numériques
4. Calculer le facteur de qualité $Q=1/(2m)$

Partie 5: Circuits RC/RC

Exercice 5.1: RC/RC Passe-Bas

RC/RC LP Filter

Données: $R_1=R_2=10k\mathrm{\Omega }$, $C_1=C_2=10nF$

Démontrez que la fonction de transfert est:

$$H(s)=\frac{1}{1+(C_2{R}_2+C_2{R}_1+C_1{R}_1)s+R_1{R}_2{C}_1{C}_2{s}^2}$$

Note: Attention à l'interaction entre les deux étages lors de l'établissement de la fonction de transfert.

Puis:

1. Mettre sous forme normalisée
2. Identifier ${\omega }_0$ et $m$
3. Calculer les valeurs numériques
4. Expliquer pourquoi le coefficient d'amortissement est élevé avec cette topologie